Nierówności kwadratowe — kalkulator
Wpisz nierówność, np. x² − 2x − 3 > 0. Dostaniesz zbiór rozwiązań w przedziałach, oś liczbową, szkic paraboli i wszystkie kroki.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Znaki: >, <, >= (≥), <= (≤). Wyrazy mogą być po obu stronach, np. x^2 >= x + 2.
Szkic paraboli
Rozwiązanie krok po kroku
Pełną analizę funkcji (postać kanoniczna i iloczynowa, wierzchołek, monotoniczność) znajdziesz w kalkulatorze funkcji kwadratowej.
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać
Podaj dalej
Komuś też się przyda?
Wyślij znajomemu link. Otworzy narzędzie od razu, bez konta i bez opłat.
Nierówność kwadratowa to nierówność, którą da się sprowadzić do postaci ax² + bx + c > 0 (albo ze znakiem <, ≥, ≤), gdzie a ≠ 0. Kalkulator powyżej przyjmuje nierówność w dowolnej postaci — także z wyrazami po obu stronach, np. x² ≥ x + 2 — przenosi wszystko na lewą stronę, liczy deltę i miejsca zerowe, szkicuje parabolę i podaje odpowiedź w zapisie przedziałowym, razem z osią liczbową.
Jak rozwiązać nierówność kwadratową — 4 kroki
- Przenieś wszystko na lewą stronę, tak aby po prawej zostało 0: ax² + bx + c ⋈ 0.
- Policz deltę i miejsca zerowe trójmianu: Δ = b² − 4ac, x₁ i x₂ (o ile istnieją).
- Naszkicuj parabolę: zaznacz miejsca zerowe na osi X; ramiona idą do góry, gdy a > 0, i w dół, gdy a < 0.
- Odczytaj odpowiedź: dla znaku > lub ≥ bierzesz te x, gdzie parabola jest nad osią X, dla < lub ≤ — gdzie jest pod osią. Przy ≥ i ≤ miejsca zerowe należą do rozwiązania (nawias ostry ⟨ ⟩), przy > i < — nie należą (nawias okrągły).
Przykład: x² − 2x − 3 > 0
Delta: Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16, więc miejsca zerowe to x₁ = −1 i x₂ = 3. Współczynnik a = 1 jest dodatni — ramiona paraboli idą do góry. Parabola jest nad osią X na zewnątrz miejsc zerowych, czyli rozwiązaniem jest x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞). Ta sama funkcja z odwróconym znakiem, x² − 2x − 3 ≤ 0, daje przedział między miejscami zerowymi, razem z nimi: x ∈ ⟨−1; 3⟩.
Przykłady rozwiązań
| Nierówność | Delta | Rozwiązanie |
|---|---|---|
| x² − 2x − 3 > 0 | 16 | x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) |
| x² − 2x − 3 ≤ 0 | 16 | x ∈ ⟨−1; 3⟩ |
| −x² + 4 > 0 | 16 | x ∈ (−2; 2) |
| x² ≥ x + 2 | 9 | x ∈ (−∞; −1⟩ ∪ ⟨2; +∞) |
| x² − 2 ≥ 0 | 8 | x ∈ (−∞; −√2⟩ ∪ ⟨√2; +∞) |
| x² − 6x + 9 ≤ 0 | 0 | x = 3 |
| (x − 3)² > 0 | 0 | x ∈ ℝ \ {3} |
| x² + x + 1 < 0 | −3 | brak rozwiązań (∅) |
| x² + x + 1 ≥ 0 | −3 | x ∈ ℝ |
Przypadki szczególne: delta równa zero i ujemna
Gdy Δ = 0, parabola dotyka osi X tylko w wierzchołku x₀. Dla a > 0 wyrażenie jest wtedy dodatnie wszędzie poza x₀: nierówność „> 0” ma rozwiązanie ℝ \ {x₀}, „≥ 0” — całe ℝ, „≤ 0” — tylko x = x₀, a „< 0” nie ma rozwiązań. Gdy Δ < 0, parabola w ogóle nie przecina osi X i ma stały znak — taki jak współczynnik a. Dlatego x² + x + 1 < 0 nie ma rozwiązań, a x² + x + 1 ≥ 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
| Znak | Δ = 0 (miejsce zerowe x₀) | Δ < 0 |
|---|---|---|
| > 0 | x ∈ ℝ \ {x₀} | x ∈ ℝ |
| ≥ 0 | x ∈ ℝ | x ∈ ℝ |
| < 0 | brak rozwiązań | brak rozwiązań |
| ≤ 0 | x = x₀ | brak rozwiązań |
Dla a < 0 tabela działa odwrotnie — zamień znaki > z < i ≥ z ≤.
Nawiasy w odpowiedzi: okrągłe czy ostre
W polskich szkołach przedział domknięty zapisuje się nawiasem ostrym ⟨ ⟩, a otwarty — okrągłym ( ). Nieskończoność zawsze ma nawias okrągły. Na osi liczbowej punkt należący do rozwiązania rysujemy jako zamalowane kółko, a punkt wykluczony — jako puste kółko. Kalkulator rysuje oś liczbową właśnie w ten sposób, więc odpowiedź łatwo przepisać do zeszytu.
Najczęstsze błędy
- Dzielenie przez x obu stron nierówności, np. x² > 3x → x > 3. To gubi rozwiązania (tu x < 0) — zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę: x² − 3x > 0.
- Pierwiastkowanie obu stron: x² < 4 to nie x < 2, tylko x ∈ (−2; 2).
- Pomylony kierunek ramion przy ujemnym a — zawsze sprawdź znak współczynnika przy x².
- Złe nawiasy — przy ≥ i ≤ miejsca zerowe należą do rozwiązania.
Jeśli zamiast nierówności chcesz poznać całą funkcję — wierzchołek, postać kanoniczną i iloczynową, zbiór wartości — użyj kalkulatora funkcji kwadratowej. Gdy po przeniesieniu na lewą stronę zniknie x², kalkulator rozwiąże nierówność jak liniową i przypomni o zmianie zwrotu przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
Najczęściej zadawane pytania
Jak rozwiązać nierówność kwadratową?
Przenieś wszystko na lewą stronę, policz deltę i miejsca zerowe, naszkicuj parabolę (ramiona w górę dla a > 0, w dół dla a < 0) i odczytaj, gdzie jest nad osią X (znak > lub ≥) albo pod nią (< lub ≤).
Kiedy w odpowiedzi jest nawias ostry, a kiedy okrągły?
Przy znakach ≥ i ≤ miejsca zerowe należą do rozwiązania — nawias ostry ⟨ ⟩. Przy > i < nie należą — nawias okrągły. Przy nieskończoności zawsze stawiamy nawias okrągły.
Co jeśli delta jest ujemna?
Parabola nie przecina osi X, więc trójmian ma stały znak taki jak a. Nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej albo nie ma rozwiązań — zależnie od znaku.
Co jeśli delta jest równa zero?
Parabola dotyka osi X w jednym punkcie x₀. Dla a > 0: „> 0” daje ℝ \ {x₀}, „≥ 0” daje ℝ, „≤ 0” daje x = x₀, a „< 0” nie ma rozwiązań.
Czy można wpisać nierówność z x po obu stronach?
Tak, np. x² ≥ x + 2. Kalkulator przeniesie wyrazy na lewą stronę (x² − x − 2 ≥ 0) i dopiero wtedy rozwiąże nierówność.
Dlaczego nie wolno dzielić nierówności przez x?
Bo nie wiadomo, czy x jest dodatnie, czy ujemne — przy dzieleniu przez liczbę ujemną zmienia się zwrot nierówności. Dzielenie przez x gubi część rozwiązań.