Rozwiązywanie równań kwadratowych
Rozwiąż równanie kwadratowe: wprowadź współczynniki a, b, c. Wyróżnik delta, pierwiastki rzeczywiste i zespolone. Wzory krok po kroku. Bezpłatnie.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Równanie
ax² + bx + c = 0 z podanych współczynników
Delta (Δ = b² − 4ac)
brak delty, gdy a = 0 — to już nie jest równanie kwadratowe
x₁ (pierwszy pierwiastek)
dla Δ = 0 i równania liniowego jest tylko jeden pierwiastek
x₂ (drugi pierwiastek)
Pierwiastki rzeczywiste
przy Δ < 0 pierwiastki są zespolone — brak rozwiązań rzeczywistych
Rozwiązanie
Równanie x² − 3x + 2 = 0 — dwa pierwiastki rzeczywiste.
- Wyróżnik: Δ = b² − 4ac
- Δ = (-3)² − 4·(1)·(2) = 1
- Wzór na pierwiastki: x = (−b ± √Δ) / (2a)
- √Δ = 1
- x1 = (−b + √Δ) / (2a) = (3 + 1) / 2 = 2
- x2 = (−b − √Δ) / (2a) = (3 − 1) / 2 = 1
| Równanie | Δ | Pierwiastki | Typ rozstrzygnięcia |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | x₁ = 3, x₂ = 2 | Dwa pierwiastki rzeczywiste |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | x = 2 | Jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny) |
| x² + 2x + 5 = 0 | -16 | x₁ = -1 + 2i, x₂ = -1 − 2i | Dwa pierwiastki zespolone |
| 2x² + 4x − 6 = 0 | 64 | x₁ = 1, x₂ = -3 | Dwa pierwiastki rzeczywiste |
| 2x − 8 = 0 | — | x = 4 | Równanie liniowe |
| Przypadek | Liczba pierwiastków | Wzór | Przykład z silnika |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 rzeczywiste | x = (−b ± √Δ) / (2a) | x₁ = 3, x₂ = 2 |
| Δ = 0 | 1 rzeczywisty (podwójny) | x = −b / (2a) | x = 2 |
| Δ < 0 | 0 rzeczywistych (2 zespolone) | x = (−b ± i·√|Δ|) / (2a) | x₁ = -1 + 2i, x₂ = -1 − 2i |
| a = 0 | równanie liniowe (b ≠ 0) | x = −c / b | x = 4 |
Warto wiedzieć — delta, przypadki brzegowe i wzory Viète'a
Co mówi delta
Δ = b² − 4ac rozstrzyga liczbę rozwiązań: Δ > 0 — dwa różne pierwiastki, Δ = 0 — jeden pierwiastek podwójny x = −b/(2a), Δ < 0 — brak pierwiastków rzeczywistych (dwa zespolone). Wystarczy policzyć deltę, by wiedzieć, ile rozwiązań ma równanie.
a = 0 to nie kwadratowe
Gdy a = 0, równanie sprowadza się do liniowego bx + c = 0 i x = −c/b. Silnik rozpoznaje ten przypadek osobno (a także tożsamość 0 = 0 i sprzeczność), więc nie zgłosi błędu — poda właściwe rozwiązanie z adnotacją „Równanie liniowe”.
Pierwiastki zespolone
Dla Δ < 0 wynik ma postać x = −b/(2a) ± √|Δ|/(2a)·i. To nie jest „brak rozwiązania” w matematyce — rozwiązania istnieją w liczbach zespolonych, ale w liczbach rzeczywistych parabola nie przecina osi X.
Wzory Viète'a jako kontrola
Dla x² + px + q: x₁ + x₂ = −p i x₁ · x₂ = q (ogólnie x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a). Narzędzie nie liczy sumy i iloczynu z definicji — ale możesz szybko sprawdzić wynik: dla x² − 5x + 6 suma 2 + 3 = 5, iloczyn 2 · 3 = 6.
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćRozwiązywanie równań kwadratowych – delta i pierwiastki z krokami
Równanie kwadratowe (ax² + bx + c = 0) to jedno z podstawowych zagadnień algebry. Kalkulator oblicza wyróżnik (delta = b² - 4ac), pierwiastki rzeczywiste lub zespolone i postać iloczynową, z pokazaniem wszystkich kroków rozwiązania.
Wzory na równanie kwadratowe
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Delta: Δ = b² - 4ac. Jeśli Δ > 0: dwa pierwiastki rzeczywiste x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a). Jeśli Δ = 0: jeden pierwiastek podwójny x = -b/(2a). Jeśli Δ < 0: brak pierwiastków rzeczywistych (dwa zespolone x1,2 = (-b ± i√|Δ|) / (2a)).
Postać iloczynowa
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2). Sprawdzenie: rozwiń → wróć do postaci ogólnej. Wzory Viète'a: x1 + x2 = -b/a. x1 × x2 = c/a. Symetria: parabola ma oś symetrii x = -b/(2a) = (x1+x2)/2. Wierzchołek: x_v = -b/(2a), y_v = -Δ/(4a).
Przykłady obliczeń
x² - 5x + 6 = 0: a=1, b=-5, c=6. Δ=25-24=1. x1=(5+1)/2=3, x2=(5-1)/2=2. Sprawdzenie: (x-3)(x-2)=x²-5x+6 ✓. x² + 2x + 5 = 0: Δ=4-20=-16 < 0. Brak pierwiastków rzeczywistych. Pierwiastki zespolone: x = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i.
Metody rozwiązywania bez wzoru
Faktoryzacja (rozkład): x²-5x+6 = (x-2)(x-3). Szukaj a,b: a+b=-5, a×b=6 → -2,-3. Uzupełnienie kwadratu: x²+6x+5 = (x+3)²-9+5 = (x+3)²-4 = 0 → x+3=±2 → x=−1 lub x=-5. Mnemotechnika: "minus b plus minus delta podzielić przez dwa a".
Jak kalkulator rozwiązywania równań kwadratowych przelicza współczynniki
Kalkulator działa w trzech etapach. Najpierw odczytuje trzy współczynniki: a (przy x²), b (przy x) oraz c (wyraz wolny), a następnie sprawdza, czy a jest różne od zera. Ten warunek decyduje o całym dalszym toku obliczeń — gdy a = 0, wyraz kwadratowy znika i równanie staje się liniowe (bx + c = 0), więc wzór na deltę przestaje mieć zastosowanie. Dopiero po tym sprawdzeniu narzędzie podstawia liczby do wzoru Δ = b² - 4ac i wylicza wartość wyróżnika.
Znak delty wyznacza gałąź obliczeń. Dla Δ > 0 pierwiastek z delty jest liczbą rzeczywistą, więc powstają dwa różne rozwiązania: x1 = (-b + √Δ) / (2a) i x2 = (-b - √Δ) / (2a). Dla Δ = 0 pierwiastek z delty wynosi 0, oba wyrażenia upraszczają się do tej samej liczby -b / (2a), czyli do pierwiastka podwójnego. Dla Δ < 0 nie da się wyciągnąć pierwiastka w zbiorze liczb rzeczywistych, dlatego wynik zapisywany jest w postaci zespolonej: najpierw wyłączana jest jednostka urojona i, a pod pierwiastek trafia wartość bezwzględna delty.
Ostatni etap to uporządkowanie wyniku. Narzędzie skraca ułamki, rozdziela część rzeczywistą od urojonej, a gdy pierwiastki są rzeczywiste, podaje również postać iloczynową a(x - x1)(x - x2) oraz wartości wynikające ze wzorów Viète'a. Każdy z tych kroków jest widoczny obok wyniku, dzięki czemu można sprawdzić, z którego przekształcenia wzięła się konkretna liczba.
Przykład krok po kroku: 2x² - 4x - 6 = 0
- Odczytaj współczynniki: a = 2, b = -4, c = -6. Ponieważ a ≠ 0, równanie jest kwadratowe i można użyć wzoru na deltę.
- Policz wyróżnik: Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 2 · (-6) = 16 + 48 = 64.
- Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, a √Δ = 8.
- Pierwszy pierwiastek: x1 = (-b + √Δ) / (2a) = (4 + 8) / 4 = 12 / 4 = 3.
- Drugi pierwiastek: x2 = (-b - √Δ) / (2a) = (4 - 8) / 4 = -4 / 4 = -1.
- Sprawdzenie wzorami Viète'a: x1 + x2 = 3 + (-1) = 2 oraz -b / a = 4 / 2 = 2 — zgadza się. Iloczyn x1 · x2 = 3 · (-1) = -3 oraz c / a = -6 / 2 = -3 — również się zgadza. Postać iloczynowa to 2(x - 3)(x + 1), co po rozwinięciu daje wyjściowe 2x² - 4x - 6.
Tabela przypadków: od delty do liczby pierwiastków
| Przypadek | Wartość delty | Wnioski i przykład |
|---|---|---|
| Dwa różne pierwiastki rzeczywiste | Δ > 0 | x² - 5x + 6 = 0, Δ = 1, x1 = 3, x2 = 2 |
| Pierwiastek podwójny | Δ = 0 | x² - 4x + 4 = 0, Δ = 0, x = 2 |
| Brak pierwiastków rzeczywistych | Δ < 0 | x² + 2x + 5 = 0, Δ = -16, x = -1 ± 2i |
| Brak wyrazu b, c ujemne | Δ = -4ac > 0 | x² - 9 = 0, Δ = 36, x1 = 3, x2 = -3 |
| Brak wyrazu b, c dodatnie | Δ = -4ac < 0 | x² + 4 = 0, Δ = -16, x = ±2i |
| Brak wyrazu c | Δ = b² ≥ 0 | x² - 5x = 0, Δ = 25, x1 = 0, x2 = 5 |
| Współczynnik a ujemny | Δ = 25 | -x² + x + 6 = 0, x1 = -2, x2 = 3 |
Jak korzystać z kalkulatora, żeby nie popełnić błędu
- Najpierw postać ogólna — przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, tak aby po prawej zostało 0. Współczynniki wpisuje się dopiero wtedy, gdy równanie ma układ ax² + bx + c = 0.
- Uważaj na znak przy b — wzór zawiera -b, więc dla b = -4 do licznika wchodzi +4. Pominięcie tego minusa to najczęstsze źródło błędów w całym algorytmie.
- Zacznij od delty, nie od pierwiastków — znak wyróżnika mówi, ile rozwiązań ma równanie, zanim wykonasz dalsze rachunki. Dla Δ < 0 nie ma sensu liczyć dalej w liczbach rzeczywistych.
- Sprawdź wynik wzorami Viète'a — suma i iloczyn pierwiastków muszą dawać odpowiednio -b / a i c / a. To zajmuje kilka sekund, a wychwytuje pomyłki w znakach.
- Nie zaokrąglaj zbyt wcześnie — przy pierwiastkach niewymiernych zapisuj wynik dokładny, a dopiero na końcu podawaj przybliżenie dziesiętne. Zaokrąglanie w trakcie zmienia ostatnie cyfry wyniku.
Czego kalkulator nie policzy i co zniekształca wynik
- Przypadek a = 0 — równanie przestaje być kwadratowe, a wzór na deltę nie ma zastosowania. Kalkulator traktuje je wtedy jako równanie liniowe i rozwiązuje inną metodą.
- Równania wymagające przekształceń — narzędzie nie usuwa samo nawiasów, nie mnoży przez mianownik i nie przenosi wyrazów. Jeśli x występuje w mianowniku lub równanie jest zapisane w formie iloczynowej, trzeba je najpierw doprowadzić do postaci ogólnej.
- Zaokrąglenia pierwiastków niewymiernych — wartości typu √2 lub √5 są pokazywane dziesiętnie, więc wynik jest przybliżony. Dokładna postać zawiera pierwiastek i to ona jest podstawą do dalszych obliczeń.
- Tylko równania drugiego stopnia — narzędzie nie rozwiązuje równań wyższych stopni, układów równań ani nierówności kwadratowych, nawet jeśli po przekształceniu byłyby z nimi powiązane.
Najczęstsze pytania
Kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?
Gdy Δ < 0: brak pierwiastków rzeczywistych. Przykład: x²+1=0 (Δ=-4). Nie istnieje liczba rzeczywista x dla której x²=-1. Pierwiastki zespolone: x = ±i (jednostka urojona i = √(-1)). Geometrycznie: parabola y=x²+1 nie przecina osi OX.
Co to są pierwiastki zespolone?
i = √(-1) (jednostka urojona). Liczba zespolona: a + bi (a = część rzeczywista, b = urojona). Δ < 0: x = (-b ± i√|Δ|) / (2a). Są to liczby parę sprzężone: x1 = p+qi, x2 = p-qi. Zastosowania: teoria sygnałów, mechanika kwantowa, prąd przemienny. W szkole: zazwyczaj tylko pierwiastki rzeczywiste.
Jak rozwiązać równanie kwadratowe przez faktoryzację?
Wzorce: x²-a² = (x-a)(x+a). x²+2ax+a² = (x+a)². x²-2ax+a² = (x-a)². Metoda: czy możesz znaleźć p,q takie że p+q=b i p×q=c (dla a=1)? x²-7x+12 = (x-3)(x-4) (3+4=7, 3×4=12). Nie zawsze możliwe z całkowitymi liczbami.
Co to jest parabola i jak łączy się z Δ?
y = ax²+bx+c: parabolą w układzie współrzędnych. Δ > 0: parabola przecina OX w 2 punktach = 2 pierwiastki. Δ = 0: parabola dotyka OX = 1 pierwiastek podwójny. Δ < 0: parabola nie przecina OX = 0 pierwiastków rzeczywistych. Ramiona: w górę (a>0), w dół (a<0). Wierzchołek: (-b/2a, -Δ/4a).
Jak równania kwadratowe są używane w fizyce?
Rzut pionowy: h(t) = h0 + v0×t - (g/2)×t². Kiedy obiekt dotknie ziemi: h(t)=0 → równanie kwadratowe w t. Optyka: soczewka v = f/(f-u) → równanie kwadratowe. Elektryka: moc P = I²×R (I² = kwadratowa). Balistyka, aerodynamika, mechanika: wszędzie gdzie pojawia się "kwadrat prędkości" lub "kwadrat odległości".
Jak obliczyć deltę równania kwadratowego?
Delta to wyrażenie Δ = b² - 4ac, gdzie a, b i c to współczynniki z postaci ax² + bx + c = 0. Wystarczy podstawić liczby i wykonać dwa działania: potęgowanie oraz mnożenie z odejmowaniem.
Co się dzieje, gdy współczynnik a wynosi 0?
Równanie przestaje być kwadratowe i staje się liniowe, czyli bx + c = 0. Wzór na deltę nie ma wtedy zastosowania, a rozwiązaniem jest x = -c / b (o ile b jest różne od zera).
Jak sprawdzić, czy pierwiastki są policzone poprawnie?
Podstaw każdy pierwiastek do wyjściowego równania albo skorzystaj ze wzorów Viète'a: suma pierwiastków musi być równa -b / a, a ich iloczyn c / a. Zgodność obu wartości potwierdza wynik.
Czym jest pierwiastek podwójny?
To sytuacja, w której delta wynosi dokładnie 0. Oba miejsca zerowe mają tę samą wartość -b / (2a), więc równanie ma jedno rozwiązanie, ale liczone z krotnością dwa.
Jak wpisać równanie z nawiasami lub ułamkami?
Najpierw trzeba je uporządkować: wymnożyć nawiasy, pozbyć się mianowników i przenieść wszystko na jedną stronę, tak aby otrzymać postać ax² + bx + c = 0. Dopiero odczytane z niej współczynniki wpisuje się do kalkulatora.
Powiązane narzedzia: kalkulator naukowy, kalkulator ukladow rownan i kalkulator wyznacznika macierzy.