Rozwiązywanie równań kwadratowych

Rozwiąż równanie kwadratowe: wprowadź współczynniki a, b, c. Wyróżnik delta, pierwiastki rzeczywiste i zespolone. Wzory krok po kroku. Bezpłatnie.

Bezpieczne (SSL)

Przetwarzanie Lokalne

100% Darmowe

Przejdź do narzędzia

Instrukcja

1

Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku.
2

Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce.
3

Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.

                                                function runTool() {

                                                  return "Wynik gotowy w 0.1s";

                                                }

Ustawienia

Pokaż kroki Opcja narzędzia

Wynik

Ustaw parametry i kliknij „Przetwórz”, aby zobaczyć wynik.

Oceń to narzędzie:

Powiązane narzędzia

Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać

Rozwiązywanie równań kwadratowych – delta i pierwiastki z krokami

Równanie kwadratowe (ax² + bx + c = 0) to jedno z podstawowych zagadnień algebry. Kalkulator oblicza wyróżnik (delta = b² - 4ac), pierwiastki rzeczywiste lub zespolone i postać iloczynową, z pokazaniem wszystkich kroków rozwiązania.

kalkulator równań kwadratowych rozwiąż ax²+bx+c=0 delta wyróżnik pierwiastki równania kwadratowego

Wzory na równanie kwadratowe

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Delta: Δ = b² - 4ac. Jeśli Δ > 0: dwa pierwiastki rzeczywiste x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a). Jeśli Δ = 0: jeden pierwiastek podwójny x = -b/(2a). Jeśli Δ < 0: brak pierwiastków rzeczywistych (dwa zespolone x1,2 = (-b ± i√|Δ|) / (2a)).

Postać iloczynowa

ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2). Sprawdzenie: rozwiń → wróć do postaci ogólnej. Wzory Viète'a: x1 + x2 = -b/a. x1 × x2 = c/a. Symetria: parabola ma oś symetrii x = -b/(2a) = (x1+x2)/2. Wierzchołek: x_v = -b/(2a), y_v = -Δ/(4a).

Przykłady obliczeń

x² - 5x + 6 = 0: a=1, b=-5, c=6. Δ=25-24=1. x1=(5+1)/2=3, x2=(5-1)/2=2. Sprawdzenie: (x-3)(x-2)=x²-5x+6 ✓. x² + 2x + 5 = 0: Δ=4-20=-16 < 0. Brak pierwiastków rzeczywistych. Pierwiastki zespolone: x = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i.

Metody rozwiązywania bez wzoru

Faktoryzacja (rozkład): x²-5x+6 = (x-2)(x-3). Szukaj a,b: a+b=-5, a×b=6 → -2,-3. Uzupełnienie kwadratu: x²+6x+5 = (x+3)²-9+5 = (x+3)²-4 = 0 → x+3=±2 → x=−1 lub x=-5. Mnemotechnika: "minus b plus minus delta podzielić przez dwa a".

Najczęstsze pytania

Kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?

Gdy Δ < 0: brak pierwiastków rzeczywistych. Przykład: x²+1=0 (Δ=-4). Nie istnieje liczba rzeczywista x dla której x²=-1. Pierwiastki zespolone: x = ±i (jednostka urojona i = √(-1)). Geometrycznie: parabola y=x²+1 nie przecina osi OX.

Co to są pierwiastki zespolone?

i = √(-1) (jednostka urojona). Liczba zespolona: a + bi (a = część rzeczywista, b = urojona). Δ < 0: x = (-b ± i√|Δ|) / (2a). Są to liczby parę sprzężone: x1 = p+qi, x2 = p-qi. Zastosowania: teoria sygnałów, mechanika kwantowa, prąd przemienny. W szkole: zazwyczaj tylko pierwiastki rzeczywiste.

Jak rozwiązać równanie kwadratowe przez faktoryzację?

Wzorce: x²-a² = (x-a)(x+a). x²+2ax+a² = (x+a)². x²-2ax+a² = (x-a)². Metoda: czy możesz znaleźć p,q takie że p+q=b i p×q=c (dla a=1)? x²-7x+12 = (x-3)(x-4) (3+4=7, 3×4=12). Nie zawsze możliwe z całkowitymi liczbami.

Co to jest parabola i jak łączy się z Δ?

y = ax²+bx+c: parabolą w układzie współrzędnych. Δ > 0: parabola przecina OX w 2 punktach = 2 pierwiastki. Δ = 0: parabola dotyka OX = 1 pierwiastek podwójny. Δ < 0: parabola nie przecina OX = 0 pierwiastków rzeczywistych. Ramiona: w górę (a>0), w dół (a<0). Wierzchołek: (-b/2a, -Δ/4a).

Jak równania kwadratowe są używane w fizyce?

Rzut pionowy: h(t) = h0 + v0×t - (g/2)×t². Kiedy obiekt dotknie ziemi: h(t)=0 → równanie kwadratowe w t. Optyka: soczewka v = f/(f-u) → równanie kwadratowe. Elektryka: moc P = I²×R (I² = kwadratowa). Balistyka, aerodynamika, mechanika: wszędzie gdzie pojawia się "kwadrat prędkości" lub "kwadrat odległości".

Powiązane narzedzia: kalkulator naukowy, kalkulator ukladow rownan i kalkulator wyznacznika macierzy.