Kalkulator interpolacji liniowej

Kalkulator interpolacji liniowej

Interpolacja liniowa pozwala oszacować wartość między dwoma znanymi punktami, zakładając, że zmiana jest liniowa. To najprostsza metoda uzupełniania brakujących danych.

Wzór

y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Wyrażenie (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) to nachylenie prostej przechodzącej przez oba punkty.

Przykład

Znamy wartości w punktach (1, 2) i (4, 11). Dla x = 2,5 wynik to 2 + 1,5 · 3 = 6,5. Szukane x leży między punktami, więc to interpolacja.

Interpolacja a ekstrapolacja

• Interpolacja — szukane x leży między znanymi punktami. Wynik jest bardziej wiarygodny.
• Ekstrapolacja — x leży poza zakresem. Zakłada utrzymanie trendu, co bywa ryzykowne.

Jak kalkulator wyznacza wartość między punktami

Interpolacja liniowa opiera się na założeniu, że między dwoma znanymi punktami wartość zmienia się proporcjonalnie. Kalkulator traktuje prostą przechodzącą przez te punkty jako model zależności. Zamiast szukać równania ogólnego, narzędzie oblicza położenie szukanego punktu na podstawie różnic względnych.

Matematycznie wynik można interpretować jako średnią ważoną. Współczynnik wagi dla y₁ to (x₂ − x) ÷ (x₂ − x₁), a dla y₂ to (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁). Suma wag wynosi 1, więc wynik zawsze leży między y₁ a y₂, o ile x leży między x₁ a x₂. Dla x spoza przedziału wagi stają się ujemne lub większe od 1, co odpowiada ekstrapolacji.

Narzędzie przyjmuje cztery liczby: x₁, y₁, x₂, y₂ oraz szukane x. Wewnętrznie sprawdza, czy x₁ ≠ x₂. Jeśli tak, oblicza nachylenie i podstawia do wzoru. Wynik podawany jest z pełną precyzją obliczeń zmiennoprzecinkowych, ale w praktyce warto go zaokrąglić do sensownej liczby miejsc.

Przykład obliczeń dla x = 3

1. Przyjmij dane: pierwszy punkt (x₁, y₁) = (1, 2), drugi punkt (x₂, y₂) = (4, 11).
2. Oblicz różnicę wartości: y₂ − y₁ = 11 − 2 = 9.
3. Oblicz różnicę argumentów: x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3.
4. Wyznacz nachylenie prostej: 9 ÷ 3 = 3.
5. Oblicz odległość szukanego x od pierwszego punktu: x − x₁ = 3 − 1 = 2.
6. Pomnóż nachylenie przez odległość i dodaj do y₁: 2 · 3 = 6, a następnie 2 + 6 = 8. Wynik: dla x = 3 interpolowana wartość wynosi y = 8.

Wartości na prostej dla punktów (1, 2) i (4, 11)

Praktyczne wskazówki

• Sprawdź, czy x mieści się w przedziale. Jeśli szukane x leży między x₁ a x₂, wynik jest interpolacją. W przeciwnym razie narzędzie nadal liczy, ale wynik staje się ekstrapolacją i wymaga ostrożności.
• Uporządkuj punkty rosnąco. Kolejność x₁ i x₂ nie wpływa na poprawność wzoru, ale dla czytelności i uniknięcia pomyłek warto podawać mniejszy x jako pierwszy.
• Pilnuj jednostek. Wszystkie wartości muszą być w tej samej skali. Jeśli x₁ i x₂ są w metrach, szukane x też podaj w metrach.
• Nie ufaj ślepo wynikowi z wieloma miejscami po przecinku. Jeśli dane wejściowe mają ograniczoną dokładność, wynik zaokrąglij do tej samej precyzji.
• Używaj do odczytu z wykresu. Gdy masz dwa punkty pomiarowe, możesz oszacować wartość pośrednią bez rysowania prostej.

Czego nie uwzględnia kalkulator

• Nieliniowości zależności. Narzędzie zakłada, że między punktami funkcja jest liniowa. Jeśli dane układają się w łuk, wynik będzie tylko przybliżeniem.
• Błędów pomiarowych. Kalkulator przyjmuje podane liczby jako dokładne. Nie szacuje niepewności ani nie koryguje odstających obserwacji.
• Więcej niż dwóch punktów. Do obliczeń wykorzystywane są tylko dwa punkty. Przy większej liczbie pomiarów lepiej użyć regresji lub interpolacji wielomianowej.
• Jednostek i skali. Narzędzie nie sprawdza, czy x₁, x₂ i x są w tych samych jednostkach. Mieszanie skal da błędny wynik.

Najczęstsze pytania