Kalkulator równania prostej

Kalkulator równania prostej

Prosta na płaszczyźnie to zbiór punktów spełniających równanie liniowe. Znasz dwa punkty albo punkt i nachylenie? Kalkulator poda wzór prostej.

Postać kierunkowa i ogólna

Współczynnik a to nachylenie (tangens kąta), a b — miejsce przecięcia osi OY.

Jak wyznaczyć prostą z dwóch punktów?

Najpierw liczymy nachylenie: a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), a następnie podstawiamy współrzędne jednego z punktów: b = y₁ − a·x₁.

Przykład

Dla punktów (1, 2) i (3, 8) nachylenie wynosi 3, a wyraz wolny −1. Równanie kierunkowe to y = 3x − 1, a ogólne: 3x − y − 1 = 0.

Jak działa kalkulator równania prostej

Kalkulator pracuje w dwóch trybach, które odpowiadają dwóm sposobom opisu prostej na płaszczyźnie. W pierwszym trybie przyjmuje współrzędne dwóch punktów, w drugim - jeden punkt oraz nachylenie. Wynik jest w obu przypadkach ten sam: nachylenie a i wyraz wolny b, a na ich podstawie równanie kierunkowe oraz ogólne.

Przy dwóch punktach narzędzie najpierw sprawdza, czy odcięte x₁ i x₂ są różne. Jeśli tak, liczy nachylenie ze wzoru a = (y₂ - y₁) ÷ (x₂ - x₁), a następnie podstawia współrzędne jednego z punktów do zależności b = y₁ - a·x₁. Kolejność punktów nie ma znaczenia: zamiana miejscami daje to samo nachylenie, a podstawienie drugiego punktu - ten sam wyraz wolny. W trybie punktu i nachylenia pierwszy krok jest zbędny, bo a jest już znane, więc narzędzie od razu przechodzi do wyznaczenia b.

Mając a i b, narzędzie zapisuje postać kierunkową y = a·x + b, a potem porządkuje wyrazy do postaci ogólnej A·x + B·y + C = 0. Dla a = 1 i b = 6 daje to y = x + 6, czyli po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę x - y + 6 = 0. Osobno obsługiwany jest przypadek pionu: gdy x₁ = x₂, mianownik wzoru na nachylenie jest zerem, więc narzędzie pomija ten krok i zwraca równanie typu x = stała. Nachylenie takiej prostej nie istnieje, a ona sama nie jest wykresem funkcji liniowej.

Przykład krok po kroku dla punktów (-2, 4) i (4, 10)

1. Zapisujemy współrzędne obu punktów: x₁ = -2, y₁ = 4 oraz x₂ = 4, y₂ = 10.
2. Sprawdzamy, czy odcięte są różne: -2 ≠ 4, więc prosta nie jest pionowa i nachylenie istnieje.
3. Liczymy nachylenie: a = (10 - 4) ÷ (4 - (-2)) = 6 ÷ 6 = 1.
4. Liczymy wyraz wolny z pierwszego punktu: b = 4 - 1·(-2) = 4 + 2 = 6.
5. Zapisujemy postać kierunkową: y = 1·x + 6, czyli y = x + 6.
6. Sprawdzamy drugim punktem: dla x = 4 otrzymujemy y = 4 + 6 = 10, co zgadza się z danymi. Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę postać ogólna to x - y + 6 = 0.

Przypadki, wzory i wyniki na liczbach

Jak korzystać z kalkulatora

• Dopasuj tryb do danych. Jeśli masz dwie pary współrzędnych, wybierz tryb dwóch punktów. Jeśli znasz nachylenie i jedno miejsce przecięcia, wygodniej wpisać punkt oraz a.
• Nie zaokrąglaj nachylenia przedwcześnie. Ułamkowe a zaokrąglone choćby do jednego miejsca przenosi błąd na wyraz wolny, a potem na całe równanie ogólne. Lepiej podstawić wartość dokładną i zaokrąglić dopiero wynik końcowy.
• Sprawdź wynik drugim punktem. Podstaw x drugiego punktu do otrzymanego równania. Jeśli wyliczone y zgadza się z danymi, obliczenia są spójne.
• Pamiętaj o pionie. Gdy oba punkty mają tę samą współrzędną x, nie da się wyznaczyć nachylenia. Oczekuj wtedy równania x = stała, a nie zapisu y = a·x + b.
• Ustaw kolejność punktów dowolnie. Zamiana punktów miejscami nie zmienia wyniku. Jeśli wynik się różni, najczęściej oznacza to błąd przy przepisywaniu współrzędnych.

Ograniczenia i źródła błędów

• Prosta pionowa. Gdy x₁ = x₂, nachylenie nie istnieje i nie da się zapisać równania w postaci y = a·x + b. Dostępny jest wyłącznie zapis x = stała.
• Dokładność danych wejściowych. Kalkulator nie poprawia danych. Wpisane współrzędne przybliżone dają przybliżone a i b, a błąd rośnie wraz z odległością od punktu, który posłużył do wyznaczenia wyrazu wolnego.
• Tylko dwa punkty. Narzędzie wyznacza prostą przechodzącą dokładnie przez dwa punkty. Nie dopasowuje prostej do większego zbioru punktów i nie liczy regresji liniowej.
• Punkty pokrywające się. Jeśli oba punkty mają identyczne współrzędne, przez taki punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych i jednoznaczny wynik nie istnieje.

Najczęstsze pytania