Kalkulator wariancji

Kalkulator wariancji i odchylenia standardowego

Wariancja i odchylenie standardowe opisują, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Dwie serie mogą mieć tę samą średnią, a zupełnie inną zmienność — te wskaźniki to wychwytują.

Wzory

• Wariancja populacji: σ² = Σ(x − μ)² ÷ n
• Wariancja próbki: s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)
• Odchylenie standardowe: pierwiastek z wariancji

Próbka czy populacja?

Dzielenie przez n−1 (korekta Bessela) daje nieobciążony estymator wariancji populacji.

Przykład

Dane 12, 7, 9, 15, 7, 20, 11: średnia ok. 11,57. Wariancja populacyjna to około 20,2, a odchylenie standardowe — około 4,5. Oznacza to, że typowa wartość odbiega od średniej o ok. 4,5.

Jak działa kalkulator: od odchylenia do wariancji

Punktem wyjścia jest średnia arytmetyczna: kalkulator sumuje wszystkie wartości i dzieli wynik przez ich liczbę. Następnie dla każdej obserwacji wyznacza odchylenie od średniej, czyli różnicę x − x̄. Suma takich odchyleń zawsze wynosi zero, bo wartości leżące poniżej średniej równoważą te powyżej. Sama suma odchyleń nie mówi więc nic o rozproszeniu — najpierw trzeba pozbyć się znaków.

Dlatego każde odchylenie jest podnoszone do kwadratu. Kwadraty są nieujemne, więc się nie znoszą, a ich suma rośnie razem z rozproszeniem danych. Aby wynik nie zależał od liczby obserwacji, sumę kwadratów dzieli się przez liczbę stopni swobody: przez n (populacja) albo przez n − 1 (próbka). Przy czterech obserwacjach dzielenie przez 3 zamiast przez 4 daje wynik o jedną trzecią większy; przy tysiącu obserwacji różnica jest już pomijalna. Wariancja próbki dla tych samych danych jest zawsze większa od wariancji populacji.

Ostatni krok to pierwiastek. Wariancja dla danych w metrach wyraża się w metrach kwadratowych, co utrudnia intuicyjną interpretację; odchylenie standardowe wraca do metrów. Warto zapamiętać dwie własności: dodanie do wszystkich obserwacji tej samej liczby nie zmienia ani wariancji, ani odchylenia standardowego, natomiast pomnożenie danych przez stałą mnoży wariancję przez kwadrat tej stałej, a odchylenie standardowe przez jej wartość bezwzględną.

Przykład krok po kroku: 12, 7, 9, 15

1. Ustal liczbę obserwacji: w zbiorze są cztery wartości — 12, 7, 9, 15, więc n = 4.
2. Policz średnią: 12 + 7 + 9 + 15 = 43, a 43 ÷ 4 = 10,75.
3. Wyznacz odchylenia od średniej: 12 − 10,75 = 1,25; 7 − 10,75 = −3,75; 9 − 10,75 = −1,75; 15 − 10,75 = 4,25. Kontrola: 1,25 − 3,75 − 1,75 + 4,25 = 0, czyli wszystko się zgadza.
4. Podnieś odchylenia do kwadratu i zsumuj: 1,5625 + 14,0625 + 3,0625 + 18,0625 = 36,75.
5. Wariant populacyjny: 36,75 ÷ 4 = 9,1875, czyli po zaokrągleniu 9,19; pierwiastek z 9,1875 to około 3,03.
6. Wariant próbkowy: 36,75 ÷ 3 = 12,25, a pierwiastek z 12,25 to równo 3,5. Ta sama suma kwadratów, inny mianownik — stąd wyższy wynik.

Tabela referencyjna: te same dane, dwa warianty obliczeń

Praktyczne wskazówki

• Zdecyduj, czy masz populację, czy próbkę. Jeśli interesuje cię rozproszenie całego zbioru, wybierz dzielnik n. Jeśli dane są wycinkiem większej całości i chcesz oszacować jej zmienność, właściwy jest dzielnik n − 1.
• Sprawdź jednostki, zanim zinterpretujesz wynik. Wariancja jest w jednostkach kwadratowych, więc nie porównuj jej bezpośrednio z wartościami danych. Do opisu typowego odchylenia używaj odchylenia standardowego.
• Nie mieszaj wariantów przy porównaniach. Zestawiaj ze sobą albo dwie wariancje populacji, albo dwie wariancje próbki. Różnica wyników może pochodzić wyłącznie z mianownika, a nie z faktycznej zmienności.
• Przy małych zbiorach policz oba warianty. Dla czterech obserwacji wariancja próbki (12,25) jest wyraźnie większa od populacyjnej (9,19); przy dużym n oba wyniki zbliżają się do siebie.
• Przygotuj dane jednorodne. Wszystkie wartości powinny być w tej samej jednostce i dotyczyć tej samej cechy. Wprowadzenie wartości w innych jednostkach zafałszuje sumę kwadratów odchyleń.

Ograniczenia i pułapki

• Jedna wartość odstająca potrafi zdominować wynik. Odchylenia są podnoszone do kwadratu, więc skrajna obserwacja wpływa na wariancję znacznie mocniej niż pozostałe, nawet jeśli stanowi ułamek zbioru.
• Wariancja nie opisuje kształtu rozkładu. Dwa zbiory mogą mieć identyczną wariancję, a zupełnie inny układ wartości — jeden skupiony wokół średniej, drugi podzielony na dwie odległe grupy.
• Nie wykrywa zależności między obserwacjami. Dane uporządkowane w czasie, na przykład kolejne pomiary, są traktowane jako niezależne, choć mogą być ze sobą skorelowane.
• Wymaga co najmniej dwóch obserwacji i traktuje każdą tak samo. Dla jednej wartości dzielnik n − 1 wynosi 0, więc wariancji próbki nie da się policzyć; narzędzie nie obsługuje też wag ani danych brakujących.

Najczęstsze pytania