Kalkulator wektorow
Oblicz operacje na wektorach 2D i 3D: dodawanie, odejmowanie, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt między wektorami. Bezpłatnie.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Wynik — składowa x
składowe liczone osobno dla każdej osi
Wynik — składowa y
druga składowa wyniku a ± b
Długość |a ± b|
√(x² + y²) z kroku wyniku
Kąt między a i b
z iloczynu skalarnego: cos θ = (a·b) / (|a|·|b|)
Kierunek wyniku
kąt od osi X (atan2), przeciwnie do wskazówek zegara
Wynik liczą trzy wzory z kodu narzędzia: składowe osobno dla każdej osi (x = aₓ ± bₓ, y = a_y ± b_y), długość |w| = √(x² + y²) (w 3D: √(x² + y² + z²)) oraz kąt między wektorami z iloczynu skalarnego cos θ = (a·b) / (|a|·|b|). Przykłady poniżej liczy dokładnie ten sam silnik, który tworzy Twój wynik — to nie są zaszyte na sztywno teksty.
| Wektor a | Wektor b | Działanie | Wynik | Długość |a ± b| | Kąt między a i b |
|---|---|---|---|---|---|
| 2, 3 | 1, 4 | A + B | (3,00; 7,00) | 7,62 | 19,65° |
| 2, 3 | 1, 4 | A − B | (1,00; -1,00) | 1,41 | 19,65° |
| 3, 4 | -3, -4 | A + B | (0,00; 0,00) | 0,00 | 180,00° |
| 1, 2, 3 | 4, 5, 6 | A + B | (5,00; 7,00; 9,00) | 12,45 | 12,93° |
Wiersz z wynikiem (0; 0) pokazuje przypadek graniczny: wektor zerowy ma długość 0 i nie ma określonego kierunku, więc kąt i wersor nie są liczone (dzielenie przez zero) — narzędzie pokazuje wtedy tylko składowe i długość.
Dodawanie i odejmowanie wektorów — co warto wiedzieć
Suma po składowych, długość z Pitagorasa
Dodawanie i odejmowanie liczy się niezależnie na każdej osi: (2, 3) + (1, 4) = (3, 7). Długość wektoru wynikowego to twierdzenie Pitagorasa: |w| = √(x² + y²), a w trójwymiarze dochodzi trzecia składowa: √(x² + y² + z²).
Wektor a skalar
Wektor ma wartość i kierunek (np. wiatr 20 km/h na północ), skalar tylko wartość (temperatura 20 °C). Do skalara nie dodasz wektora — narzędzie przyjmuje wyłącznie składowe wektorów; skalarny jest natomiast iloczyn a·b, czyli pojedyncza liczba opisująca „współpracę” dwóch wektorów.
Kąty z iloczynu skalarnego i atan2
Kąt między wektorami wylicza silnik z kosinusa: cos θ = (a·b)/(|a|·|b|), ograniczając wynik do przedziału −1…1. Kierunek wyniku w 2D podaje atan2(y, x) w przedziale 0–360°, a wersor to wektor podzielony przez swoją długość.
Elastyczne wprowadzanie danych
Składowe rozdzielisz spacją, średnikiem lub przecinkiem — „1,5 2,5” to dwie liczby dziesiętne, a „1, 2” dwa oddzielne wektory składowe. Liczbę miejsc po przecinku ustawisz od 0 do 10, a opcja „Pokaż kroki” dopisuje do wyniku rozpisane obliczenia.
Wskazówka: pełny wynik z krokami skopiujesz jednym kliknięciem albo pobierzesz jako plik .txt — przydaje się w zadaniach z fizyki i notatkach z lekcji.
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćKalkulator wektorów 2D i 3D – pełne operacje wektorowe online
Wektory to fundamentalne obiekty matematyki, fizyki i informatyki graficznej. Kalkulator obsługuje wektory 2D (x,y) i 3D (x,y,z): dodawanie, odejmowanie, skalowanie, iloczyn skalarny (dot product), iloczyn wektorowy (cross product), długość (norma), kąt między wektorami i normalizację.
Podstawowe operacje wektorowe
Dodawanie: (a1,a2,a3) + (b1,b2,b3) = (a1+b1, a2+b2, a3+b3). Odejmowanie: analogicznie. Skalowanie: k·(a1,a2,a3) = (ka1, ka2, ka3). Długość (norma): |v| = sqrt(v1² + v2² + v3²). Normalizacja: v/|v| (wektor jednostkowy, długość = 1). Negacja: -v (odwrócony kierunek).
Iloczyn skalarny (Dot Product)
a·b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3 (wynik to liczba, nie wektor). Interpretacja geometryczna: a·b = |a|·|b|·cos(θ). Jeśli a·b = 0: wektory prostopadłe (90°). Jeśli a·b > 0: kąt < 90°. Jeśli a·b < 0: kąt > 90°. Zastosowania: kąt między wektorami, projekcja, oświetlenie w grafice 3D (Lambert), podobieństwo kosinusowe w ML.
Iloczyn wektorowy (Cross Product)
a×b = (a2·b3−a3·b2, a3·b1−a1·b3, a1·b2−a2·b1) – tylko 3D. Wynik: wektor prostopadły do obu (normalna płaszczyzny). |a×b| = |a|·|b|·sin(θ). Reguła prawej ręki: kierunek wyniku. Jeśli a×b = (0,0,0): wektory równoległe lub jeden z nich zerowy. Zastosowania: normalne powierzchni w grafice 3D, momenty siły w fizyce.
Zastosowania w fizyce i grafice
Fizyka: prędkość, przyspieszenie, siła, moment pędu (wszystko wektory). Rzut ukośny: v = v0 + a·t (dodawanie wektorów). Grafika 3D: normalne powierzchni (cross product), shading (dot product z wektorem światła). Gry: kolizje (dot product), AI pathfinding. ML: embeddingi tekstowe (podobieństwo kosinusowe = dot product znormalizowany).
Jak kalkulator przelicza wektory - mechanizm działania
Kalkulator nie przekształca wzorów symbolicznie, tylko wykonuje działania arytmetyczne na współrzędnych. Najpierw ustalany jest wymiar: w trybie 2D trzecia współrzędna jest nieaktywna i przyjmowana jako 0, w trybie 3D wszystkie trzy wartości wchodzą do obliczeń. Dodawanie, odejmowanie i skalowanie liczone są współrzędna po współrzędnej, niezależnie od siebie, więc kolejność wektorów ma znaczenie wyłącznie przy odejmowaniu - wynik zmienia znak przy zamianie argumentów.
Iloczyn skalarny sprowadza się do jednej sumy: mnożysz pierwsze współrzędne, potem drugie i trzecie, a na końcu dodajesz iloczyny. Dlatego wynik jest liczbą, a nie wektorem. Iloczyn wektorowy działa inaczej - każda składowa wyniku powstaje z dwóch pozostałych par współrzędnych, zgodnie z rozwinięciem wyznacznika macierzy, w której pierwszy wiersz stanowią wersory osi. Z tego powodu operacja jest dostępna tylko dla wektorów 3D.
Długość to pierwiastek z sumy kwadratów współrzędnych, normalizacja to podzielenie każdej współrzędnej przez tę długość, a kąt wynika z przekształcenia zależności a·b = |a|·|b|·cos(θ): narzędzie liczy arccos z ilorazu iloczynu skalarnego i iloczynu długości. Jeśli którykolwiek z wektorów jest zerowy, jego długość wynosi 0, dzielenie przez zero jest niewykonalne i kąt nie zostaje wyznaczony. Kąt podawany jest w stopniach i radianach, a współrzędne wyniku w tym samym zapisie, w jakim zostały wprowadzone.
Przykład krok po kroku dla a = (2, -1, 3) i b = (1, 4, -2)
- Ustaw tryb 3D i wpisz pierwszy wektor: a = (2, -1, 3).
- Wpisz drugi wektor: b = (1, 4, -2).
- Iloczyn skalarny: 2*1 + (-1)*4 + 3*(-2) = 2 - 4 - 6 = -8. Wynik ujemny oznacza, że kąt między wektorami jest rozwarty.
- Iloczyn wektorowy: składowa x = (-1)*(-2) - 3*4 = 2 - 12 = -10; składowa y = 3*1 - 2*(-2) = 3 + 4 = 7; składowa z = 2*4 - (-1)*1 = 8 + 1 = 9. Wynik: (-10, 7, 9).
- Sprawdzenie prostopadłości: a·(a x b) = 2*(-10) + (-1)*7 + 3*9 = -20 - 7 + 27 = 0, więc otrzymany wektor jest prostopadły do a; analogicznie wychodzi 0 dla b.
- Długości: |a| = pierwiastek z 14, czyli ok. 3,742, |b| = pierwiastek z 21, czyli ok. 4,583, a ich iloczyn to ok. 17,151. Kąt: arccos(-8 / 17,151) = arccos(-0,466), czyli ok. 117,8 stopnia.
Tabela referencyjna operacji dla a = (2, -1, 3) i b = (1, 4, -2)
| Operacja | Wzór lub zasada | Wynik dla pary przykładowej |
|---|---|---|
| Dodawanie | (a1+b1, a2+b2, a3+b3) | (3, 3, 1) |
| Odejmowanie a - b | (a1-b1, a2-b2, a3-b3) | (1, -5, 5) |
| Skalowanie 2a | (k*a1, k*a2, k*a3) | (4, -2, 6) |
| Iloczyn skalarny | a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 | -8 |
| Iloczyn wektorowy | (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1) | (-10, 7, 9) |
| Długość a | pierwiastek z (a1 do kwadratu + a2 do kwadratu + a3 do kwadratu) | ok. 3,742 |
| Normalizacja a | każda współrzędna podzielona przez długość | (0,535; -0,267; 0,802) |
| Kąt między a i b | arccos(a·b / (|a|*|b|)) | ok. 117,8 stopnia |
Jak korzystać z kalkulatora bez błędów
- Ustal wymiar przed wpisaniem danych - w trybie 2D trzecia współrzędna jest zerowana, więc przełączenie trybu po wpisaniu liczb może zmienić wynik. Najpierw wybierz 2D albo 3D, potem uzupełniaj pola.
- Nie myl obu iloczynów - skalarny zwraca liczbę i mówi, jak bardzo kierunki są zgodne, wektorowy zwraca wektor prostopadły do obu argumentów. Jeśli oczekujesz wektora, a widzisz pojedynczą liczbę, wybrałeś złą operację.
- Kąt licz tylko dla wektorów niezerowych - przy wektorze zerowym długość wynosi 0 i kąt nie ma określonej wartości. Przed sprawdzaniem kąta popatrz na długości obu wektorów.
- Zero w iloczynie wektorowym to informacja, nie błąd - wynik (0, 0, 0) oznacza, że wektory są równoległe albo któryś z nich jest zerowy. W takiej sytuacji nie wyznaczają one jednoznacznej normalnej płaszczyzny.
- Do porównywania kierunków używaj znormalizowanych wektorów - po normalizacji iloczyn skalarny równa się cosinusowi kąta, więc mieści się w przedziale od -1 do 1 i nie rośnie wraz z długością wektorów.
Czego kalkulator nie uwzględnia
- Tylko dwa wektory na raz - narzędzie przyjmuje dwa argumenty, więc sumę trzech i więcej wektorów liczysz etapami, a wyniki pośrednie musisz przepisywać ręcznie.
- Iloczyn wektorowy wyłącznie w 3D - w trybie 2D operacja jest niedostępna. Dwuwymiarowy odpowiednik sprowadza się do jednej składowej, której kalkulator nie podaje osobno.
- Zaokrąglenia i kumulacja błędu - długości, kąty i znormalizowane współrzędne są wartościami przybliżonymi. Przy dalszych obliczeniach na przepisanych wynikach błędy się sumują, dlatego nie traktuj ostatniej cyfry jako pewnej.
- Brak jednostek i układu odniesienia - liczby traktowane są jako bezwymiarowe i porównywane w jednym układzie współrzędnych. Kalkulator nie sprawdzi, czy oba wektory zapisano w tym samym układzie ani czy mają spójne jednostki.
Najczęstsze pytania
Co to jest wektor jednostkowy?
Wektor o długości 1. Normalizacja: v̂ = v / |v|. Przykład: v = (3, 4); |v| = 5; v̂ = (0.6, 0.8). Zastosowanie: kierunek bez informacji o długości (np. kierunek ruchu obiektu w grze). Wektory jednostkowe w 3D: i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) – baza przestrzeni.
Jak obliczyć kąt między dwoma wektorami?
cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|). θ = arccos(a·b / (|a|·|b|)). W JavaScript: Math.acos(dotProduct / (lenA * lenB)) * (180 / Math.PI). Przykład: a=(1,0), b=(0,1) → dot=0 → cos(θ)=0 → θ=90°. a=(1,0), b=(1,1) → dot=1 → |a|=1, |b|=√2 → cos(θ)=1/√2 → θ=45°.
Jak wektory są używane w machine learning?
Word embeddings (Word2Vec, GloVe, BERT): każde słowo = wektor. Podobieństwo: cosine similarity = dot(a,b)/(|a||b|). Semantic search: szukaj wektorowo bliskich (faiss, Qdrant, Pinecone). Image embeddings: obraz → wektor (CNN, ViT). Recommendation: user vector vs item vectors. LLM kontekst: tokeny → macierze wektorów.
Co to jest iloczyn Hadamarda?
Element-wise multiplication: (a1,a2,a3) ⊙ (b1,b2,b3) = (a1·b1, a2·b2, a3·b3). Inaczej niż dot product (dot zwraca skalar, Hadamard zwraca wektor). Zastosowanie w sieciach neuronowych: bramki LSTM (forget gate, input gate), attention mechanism.
Jak rysować wektory w Python?
import matplotlib.pyplot as plt; import numpy as np. plt.quiver(0, 0, 3, 4, angles="xy", scale_units="xy", scale=1). plt.xlim(-1,5); plt.ylim(-1,5). plt.grid(). plt.show(). Kilka wektorów: plt.quiver z tablicami X,Y,U,V. 3D: Axes3D.quiver().
Jak obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów?
Pomnóż odpowiadające sobie współrzędne i dodaj iloczyny. Dla (2, -1, 3) i (1, 4, -2) wychodzi 2 - 4 - 6 = -8. Wynik jest zawsze pojedynczą liczbą, nie wektorem.
Czym różni się iloczyn skalarny od wektorowego?
Skalarny daje liczbę opisującą zgodność kierunków i jest dostępny także w 2D. Wektorowy daje wektor prostopadły do obu argumentów i istnieje tylko w 3D, a jego długość zależy od sinusa kąta między wektorami.
Jak obliczyć kąt między wektorami?
Podziel iloczyn skalarny przez iloczyn długości obu wektorów, a potem policz arccos z otrzymanej wartości. W przykładzie -8 podzielone przez ok. 17,151 daje -0,466, czyli kąt ok. 117,8 stopnia.
Czy iloczyn wektorowy można policzyć dla wektorów 2D?
W klasycznej postaci nie, bo wynik jest wektorem trójwymiarowym prostopadłym do płaszczyzny obu argumentów. Dla wektorów 2D podaje się zwykle tylko jedną składową, czyli liczbę, i kalkulator nie zwraca jej jako osobnego wyniku.
Jak sprawdzić, czy wektory są prostopadłe albo równoległe?
Prostopadłość daje iloczyn skalarny równy 0. Równoległość (lub zerowy wektor) daje iloczyn wektorowy (0, 0, 0). Oba warunki sprawdzisz jednocześnie, licząc oba iloczyny dla tej samej pary wektorów.
Powiązane narzedzia: kalkulator macierzy, kalkulator naukowy i kalkulator trojkata prostokatnego.