Kalkulator liczb zespolonych
Działania na liczbach postaci a + bi
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćKalkulator liczb zespolonych
Liczba zespolona ma postać a + bi, gdzie a to część rzeczywista, b — urojona, a i² = −1. Liczby zespolone są podstawą analizy obwodów elektrycznych, przetwarzania sygnałów i grafiki komputerowej.
Działania
| Działanie | Wzór |
|---|---|
| Dodawanie | (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i |
| Odejmowanie | (a₁−a₂) + (b₁−b₂)i |
| Mnożenie | (a₁a₂−b₁b₂) + (a₁b₂+b₁a₂)i |
| Dzielenie | [(a₁a₂+b₁b₂) + (b₁a₂−a₁b₂)i] ÷ (a₂²+b₂²) |
Moduł i argument
Moduł |z| = √(a² + b²) to odległość liczby od początku układu współrzędnych. Argument to kąt, jaki tworzy ona z osią rzeczywistą — pozwala zapisać liczbę w postaci trygonometrycznej: z = |z|(cos φ + i sin φ).
Przykład
z₁ = 3 + 2i oraz z₂ = 1 − 4i. Iloczyn: (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = 11 − 10i. Moduł wyniku: √(121 + 100) ≈ 14,87.
Najczęstsze pytania
Po co komu liczby zespolone?
Upraszczają opis drgań i obwodów prądu zmiennego. W fizyce i elektronice pozwalają liczyć impedancję, a w matematyce — pierwiastki równań, które nie mają rozwiązań rzeczywistych.
Czym jest sprzężenie liczby zespolonej?
To liczba a − bi. Iloczyn liczby i jej sprzężenia daje kwadrat modułu — dlatego sprzężenie jest kluczowe przy dzieleniu.
Ile wynosi i²?
i to jednostka urojona, dla której i² = −1. Dzięki temu równanie x² + 1 = 0 ma rozwiązanie x = i.