Kalkulator liczb zespolonych

Kalkulator liczb zespolonych

Liczba zespolona ma postać a + bi, gdzie a to część rzeczywista, b — urojona, a i² = −1. Liczby zespolone są podstawą analizy obwodów elektrycznych, przetwarzania sygnałów i grafiki komputerowej.

Działania

Moduł i argument

Moduł |z| = √(a² + b²) to odległość liczby od początku układu współrzędnych. Argument to kąt, jaki tworzy ona z osią rzeczywistą — pozwala zapisać liczbę w postaci trygonometrycznej: z = |z|(cos φ + i sin φ).

Przykład

z₁ = 3 + 2i oraz z₂ = 1 − 4i. Iloczyn: (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = 11 − 10i. Moduł wyniku: √(121 + 100) ≈ 14,87.

Jak działa kalkulator liczb zespolonych

Kalkulator traktuje każdą liczbę zespoloną jako parę liczb rzeczywistych: część rzeczywistą a oraz część urojoną b. Jednostka urojona i jest w tym zapisie tylko znacznikiem osi — mówi, która składowa należy do części urojonej. Dlatego dodawanie i odejmowanie wykonuje się osobno na obu współrzędnych: składowe rzeczywiste dodaje się do siebie, a urojone do siebie. Nie ma tu żadnej pułapki poza pamiętaniem, że i² = −1.

Mnożenie wymaga rozwinięcia nawiasów i zamiany każdego i² na −1. Człony zawierające i² przestają być urojone, więc mieszają się z częścią rzeczywistą. Stąd wzór (a₁a₂ − b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i: pierwszy nawias zbiera wyrazy bez i oraz te, w których pojawiło się i², drugi — wyrazy liniowe w i. Odejmowanie to dodawanie liczby z przeciwnymi znakami, a więc ten sam schemat działania.

Dzielenie sprowadza się do mnożenia przez odwrotność. Licznik i mianownik mnoży się przez sprzężenie mianownika, bo (a + bi)(a − bi) = a² + b² — a to zawsze liczba rzeczywista i dodatnia, o ile a i b nie są jednocześnie zerami. Mianownik przestaje zawierać i, a wynik to dwie liczby rzeczywiste podzielone przez a₂² + b₂². Moduł liczony jest jako √(a² + b²), czyli długość wektora (a, b) na płaszczyźnie, a argument jako kąt tego wektora wobec osi rzeczywistej — z korektą zależną od ćwiartki układu. Oba te elementy składają się na postać trygonometryczną.

Dzielenie krok po kroku: (3 + 2i) ÷ (1 − 4i)

1. Zapisujemy dane: z₁ = 3 + 2i, czyli a₁ = 3 oraz b₁ = 2, a także z₂ = 1 − 4i, czyli a₂ = 1 oraz b₂ = −4.
2. Liczymy mianownik, który po pomnożeniu przez sprzężenie jest liczbą rzeczywistą: a₂² + b₂² = 1² + (−4)² = 1 + 16 = 17.
3. Liczymy część rzeczywistą licznika: a₁a₂ + b₁b₂ = 3 × 1 + 2 × (−4) = 3 − 8 = −5.
4. Liczymy część urojoną licznika: b₁a₂ − a₁b₂ = 2 × 1 − 3 × (−4) = 2 + 12 = 14.
5. Składamy wynik: (−5 + 14i) ÷ 17, czyli (−5/17) + (14/17)i.
6. Rozdzielamy na części: −5/17 ≈ −0,29, a 14/17 ≈ 0,82. Wynik to w przybliżeniu −0,29 + 0,82i. Sprawdzenie: |z₁| = √13 ≈ 3,61, |z₂| = √17 ≈ 4,12, iloraz modułów ≈ 0,87 — dokładnie tyle, ile daje √221 ÷ 17 ≈ 0,87.

Podstawowe zależności — ściągawka

Jak korzystać z kalkulatora — praktyczne wskazówki

• Wpisuj znak minus razem ze współczynnikiem. W liczbie 1 − 4i częścią urojoną jest −4, a nie 4. Pomylony znak to najczęstsze źródło błędów przy odejmowaniu i dzieleniu.
• Dzieląc, bierz do mianownika całą liczbę. Sprzężenie zmienia znak wyłącznie przy części urojonej, więc z liczby 1 − 4i powstaje 1 + 4i, a nie 4i − 1.
• Sprawdzaj wynik modułem. Moduł iloczynu równa się iloczynowi modułów, a moduł ilorazu — ilorazowi modułów. Jeśli ta równość nie zachodzi, w rachunkach jest błąd.
• Dziel zawsze przez sprzężenie. Mnożenie licznika i mianownika przez sprzężenie mianownika to jedyny pewny sposób usunięcia i z mianownika.
• Zaokrąglaj dopiero na końcu. Licz na ułamkach dokładnych tak długo, jak to możliwe — błąd zaokrąglenia kumuluje się przy każdym pośrednim kroku.

Czego narzędzie nie zrobi i co może zaburzyć wynik

• Brak porządku. Liczb zespolonych nie da się ustawić od najmniejszej do największej, bo nie istnieje relacja większości zgodna z ich działaniami. Można porównywać moduły, ale to nie to samo co porównywanie samych liczb.
• Dzielenie przez zero. Gdy a₂ = 0 i jednocześnie b₂ = 0, mianownik a₂² + b₂² jest zerem i działanie jest niewykonalne. Taki przypadek trzeba wykluczyć przed liczeniem.
• Zaokrąglenia liczb niewymiernych. Moduły takie jak √13 czy √17 mają nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Każdy wynik podany w postaci dziesiętnej jest więc tylko przybliżeniem wartości dokładnej.
• Wieloznaczność argumentu. Kąt liczby zespolonej jest określony z dokładnością do wielokrotności 2π, więc ten sam wektor opisuje nieskończenie wiele argumentów. Przy interpretacji geometrycznej trzeba ustalić, z którego przedziału się korzysta.

Najczęstsze pytania