Kalkulator kąta między wektorami

Kalkulator kąta między wektorami 2D

Kalkulator kąta między wektorami wylicza kąt, iloczyn skalarny i cosinus dla dwóch wektorów na płaszczyźnie. Podajesz cztery współrzędne, a narzędzie stosuje wzór z iloczynu skalarnego.

Wzór na kąt między wektorami

Kosinus kąta to iloczyn skalarny podzielony przez iloczyn długości: cos θ = (Ax·Bx + Ay·By) / (|A|·|B|). Kąt odczytujemy z funkcji arccos. Wartości cos są zawężane do zakresu -1..1, co chroni przed błędami zaokrągleń przy wektorach równoległych.

Zastosowania

Kąt między wektorami pojawia się w fizyce (praca siły: W = F·s·cos θ), grafice komputerowej (oświetlenie, normalne powierzchni), machine learning (podobieństwo cosinusowe tekstu) i geometrii analitycznej na lekcjach.

Jak kalkulator zamienia współrzędne na kąt

Narzędzie przyjmuje cztery liczby: Ax, Ay, Bx i By. Najpierw mnoży współrzędne poziome przez siebie oraz pionowe przez siebie, a oba iloczyny dodaje. Ten wynik to iloczyn skalarny — pojedyncza liczba opisująca wzajemne ustawienie kierunków. Jej znak od razu zawęża obszar, w którym leży kąt: wartość dodatnia oznacza kąt mniejszy niż 90 stopni, zero to dokładnie 90 stopni, a wartość ujemna to kąt rozwarty.

Równolegle liczone są długości obu wektorów: dla każdego z nich narzędzie sumuje kwadraty współrzędnych i wyciąga pierwiastek. Dopiero potem iloczyn skalarny dzieli przez iloczyn tych długości. Właśnie to dzielenie sprawia, że wynik nie zależy od skali wektorów — wydłużenie jednego z nich w niczym nie zmienia kąta. Gdyby mianownik wyszedł zerem, narzędzie nie wykonuje dzielenia i zwraca komunikat o błędzie.

Otrzymany ułamek trafia do funkcji odwrotnej do cosinusa, która zwraca kąt w radianach, a kalkulator przelicza go na stopnie. Zakres wyniku to zawsze od 0 do 180 stopni, ponieważ na tym przedziale cosinus maleje jednostajnie i jednemu cosinusowi odpowiada dokładnie jeden kąt. Kąt nie zmienia się też, gdy odwrócisz jednocześnie oba wektory: iloczyn skalarny i iloczyn długości pozostają wtedy takie same.

Przykład krok po kroku: A = (3, 4) i B = (4, -3)

1. Odczytaj współrzędne: Ax = 3, Ay = 4, Bx = 4, By = -3.
2. Policz iloczyn skalarny: 3 · 4 + 4 · (-3) = 12 - 12 = 0.
3. Policz długość pierwszego wektora: pierwiastek z (3² + 4²) = pierwiastek z (9 + 16) = pierwiastek z 25 = 5.
4. Policz długość drugiego wektora: pierwiastek z (4² + (-3)²) = pierwiastek z (16 + 9) = pierwiastek z 25 = 5.
5. Podziel iloczyn skalarny przez iloczyn długości: 0 / (5 · 5) = 0 / 25 = 0, czyli cosinus kąta wynosi 0.
6. Odczytaj kąt: arccos 0 = 90 stopni. Kalkulator pokaże więc kąt 90°, iloczyn skalarny 0 i cosinus 0, a wektory są prostopadłe mimo różnych kierunków.

Tabela przypadków: co daje który układ współrzędnych

Praktyczne wskazówki przy liczeniu kąta

• Kolejność wektorów nie ma znaczenia — iloczyn skalarny jest przemienny, a cosinus symetryczny, więc kąt wektora A względem B jest identyczny jak kąt B względem A. Możesz wpisywać współrzędne w dowolnej kolejności pól.
• Sprawdź znak iloczynu skalarnego, zanim sięgniesz po arccos — to najszybsza kontrola sensowności wyniku. Znak dodatni wyklucza kąt rozwarty, a zero od razu wskazuje prostopadłość, niezależnie od długości obu wektorów.
• Skaluj wektory świadomie — pomnożenie współrzędnych jednego lub obu wektorów przez tę samą liczbę dodatnią nie zmienia kąta, bo zmiana skali znosi się w liczniku i w mianowniku. Mnożenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek i daje kąt dopełniający do 180 stopni.
• Przy kierunkach prawie równoległych zostań przy cosinusie — blisko wartości 1 oraz -1 funkcja arccos reaguje bardzo mocno na drobne różnice, więc kąt w stopniach bywa mylący, a sam cosinus porównuje kierunki stabilniej.
• Ustaw oba wektory w tym samym punkcie — kąt opisuje wyłącznie kierunki, dlatego równoległe przesunięcie wektora niczego nie zmienia. Współrzędne wpisuj tak, jakby oba wektory wychodziły z początku układu.

Czego kalkulator nie uwzględnia

• Tylko dwie współrzędne — narzędzie obsługuje wektory na płaszczyźnie. Dla wektorów trójwymiarowych potrzebny jest trzeci składnik, którego nie da się tu dopisać, więc taki kąt trzeba policzyć innym sposobem.
• Brak informacji o kierunku obrotu — wynik to zawsze kąt o mierze od 0 do 180 stopni. Kalkulator nie wskaże, czy drugi wektor leży po lewej, czy po prawej stronie pierwszego; do tego potrzebny jest znak wyznacznika Ax · By - Ay · Bx.
• Jednostki i skala osi są umowne — narzędzie liczy na czystych liczbach, więc ten sam wynik dostaniesz dla metrów i dla pikseli, o ile proporcje współrzędnych są zachowane. Jeśli na rysunku osie mają różne skale, kąt widoczny na obrazku może różnić się od wyliczonego.
• Dokładność liczb zmiennoprzecinkowych — przy bardzo dużych lub bardzo małych współrzędnych wynik może różnić się w ostatnich cyfrach. Kalkulator nie podaje niepewności ani informacji, ile miejsc po przecinku jest jeszcze wiarygodnych.

Najczęstsze pytania