Kalkulator współczynnika Giniego

Kalkulator współczynnika Giniego

Współczynnik Giniego mierzy nierówność rozkładu — najczęściej dochodów, ale też sprzedaży, ruchu czy zaangażowania. Wynosi od 0 (pełna równość) do 1 (pełna koncentracja). Kalkulator liczy go z listy od 3 do 10 000 wartości i od razu pokazuje krzywą Lorenza w decylach, udział najwyższych 10%, wskaźnik Palmy oraz wynik skorygowany dla małej próby.

Interpretacja wyniku

Kalkulator opisuje wynik słownie według poniższej skali. To umowne progi narzędzia, a nie oficjalna norma: w analizach dochodów różne instytucje stosują własne granice.

Krzywa Lorenza

Pokazuje, jaka część populacji posiada jaką część zasobu. Im bardziej krzywa odchyla się od przekątnej równości, tym wyższy Gini. Kalkulator podaje ją w tabeli co 10% populacji: dla każdego decyla widać jego udział w sumie i wartość narastającą. Gdy liczba obserwacji nie dzieli się przez 10, punkty krzywej wyznaczane są interpolacją liniową, w której każda obserwacja to równy ułamek populacji.

Co pokazuje kalkulator

• współczynnik Giniego z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, z oceną według skali powyżej,
• liczbę obserwacji, średnią, medianę i rozstęp max/min (ile razy największa wartość przewyższa najmniejszą),
• udział najwyższych 10% w sumie oraz wskaźnik Palmy, czyli ten udział podzielony przez udział najniższych 40%,
• Gini skorygowany (pomnożony przez n/(n − 1)), który znosi zaniżenie wyniku przy małej liczbie obserwacji,
• Gini bez najwyższej wartości (od 4 obserwacji), czyli test, ile wyniku zależy od jednej skrajnej pozycji,
• tabelę krzywej Lorenza z udziałami decylowymi; całe podsumowanie można skopiować do schowka.

Zastosowania

• nierówność dochodów w regionie lub firmie,
• koncentracja sprzedaży w bazie klientów,
• rozproszenie ruchu między kanałami marketingowymi,
• analiza zaangażowania użytkowników.

Jak kalkulator wyznacza współczynnik Giniego

Kalkulator przyjmuje listę wartości rozdzielonych spacją, nową linią, średnikiem albo przecinkiem ze spacją; ułamki można zapisać jako 3,5 lub 3.5. Powtarzającą się wartość wystarczy wpisać raz z liczebnością: 3000*5 to pięć obserwacji po 3000. Najpierw liczy sumę i średnią, a następnie porządkuje obserwacje rosnąco. Na posortowanym szeregu budowana jest krzywa Lorenza: dla każdej pozycji i wyznaczany jest skumulowany udział populacji (i podzielone przez n) oraz skumulowany udział zasobu (suma wartości do tej pozycji podzielona przez sumę wszystkich wartości). Gdyby wszystkie obserwacje były identyczne, punkty te układałyby się wzdłuż przekątnej; każde odejście od przekątnej oznacza nierówność.

Sam współczynnik to jedna liczba wynikająca z geometrii tego wykresu: pole między przekątną a krzywą Lorenza podzielone przez pole pod przekątną. Równoważnie można go policzyć jako średnią różnicę między obserwacjami: G = suma(|xi − xj|) podzielona przez (2 · n² · średnia), gdzie sumowanie przebiega po wszystkich parach, także w obu kierunkach. W praktyce wygodniejszy jest wzór dla danych posortowanych rosnąco: G = (2 · suma(i · xi)) podzielone przez (n · suma(xi)) minus (n + 1) podzielone przez n, gdzie i to numer pozycji od 1 do n. Tego wzoru używa kalkulator i pod wynikiem pokazuje podstawione liczby.

Wynik jest bezwymiarowy i niezależny od skali: te same liczby podane w złotych i w tysiącach złotych dają identyczną wartość, bo jednostka skraca się w liczniku i mianowniku. Zero oznacza pełną równość. Wartość dokładnie 1 nie występuje przy skończonym zbiorze — gdy tylko jedna z n obserwacji jest niezerowa, wynik wynosi 1 − 1/n, czyli 0,75 dla czterech obserwacji i 0,8 dla pięciu. Tę granicę usuwa Gini skorygowany: po pomnożeniu przez n/(n − 1) taki skrajny przypadek daje równo 1.

Przykład krok po kroku: sprzedaż pięciu sprzedawców

1. Zbieramy dane: 200, 200, 400, 600, 600 zł miesięcznej sprzedaży u pięciu sprzedawców, czyli n = 5.
2. Liczymy sumę: 200 + 200 + 400 + 600 + 600 = 2000, a następnie średnią: 2000 podzielone przez 5 = 400.
3. Sortujemy wartości rosnąco i numerujemy je od 1 do 5: 200 (1), 200 (2), 400 (3), 600 (4), 600 (5).
4. Liczymy sumę iloczynów numeru pozycji i wartości: 1 · 200 + 2 · 200 + 3 · 400 + 4 · 600 + 5 · 600 = 200 + 400 + 1200 + 2400 + 3000 = 7200.
5. Podstawiamy do wzoru: G = (2 · 7200) podzielone przez (5 · 2000) minus 6 podzielone przez 5 = 14400 podzielone przez 10000 minus 1,2 = 1,44 − 1,2 = 0,24.
6. Wynik 0,24 oznacza bardzo równomierny rozkład. Ten sam zestaw podany w tysiącach złotych (0,2; 0,2; 0,4; 0,6; 0,6) daje identyczne 0,24 — zmiana jednostki nie wpływa na współczynnik.
7. Kalkulator dopowie jeszcze: Gini skorygowany 0,24 · 5/4 = 0,30, Gini bez najwyższej wartości 0,25, udział najwyższych 10% równy 15% (przy pięciu osobach 10% populacji to pół obserwacji, więc połowa z 600 zł) i wskaźnik Palmy 15 / 20 = 0,75, bo dwie najniższe sprzedaże dają 400 zł, czyli 20% sumy.

Współczynnik Giniego dla przykładowych zbiorów danych

W zestawie „Typowy” najwyższa wartość 30 000 to 39,5% sumy, a najniższe 40% obserwacji ma 14,5%, więc wskaźnik Palmy wynosi 2,73. Po usunięciu tej jednej pozycji Gini spada z 0,463 do 0,309, co pokazuje, jak silnie pojedyncza skrajna obserwacja podnosi wynik.

Jak korzystać z kalkulatora — wskazówki praktyczne

• Wprowadzaj wartości jednostkowe, nie zagregowane. Zamiast sumy sprzedaży dla całego regionu wpisz wyniki pojedynczych klientów lub punktów — uśrednianie wewnątrz grup wygładza różnice i zaniża wynik.
• Trzymaj się jednej definicji zasobu. Nie mieszaj w jednym zbiorze kwot brutto i netto, przychodu i marży ani różnych okresów rozliczeniowych, bo porównujesz wtedy dwa różne rozkłady.
• Sortowanie nie jest potrzebne: kalkulator porządkuje obserwacje samodzielnie, a kolejność wierszy na wejściu nie ma wpływu na wynik.
• Dane z tabeli liczebności (np. 120 osób z dochodem 3000 zł) wpisuj w formie 3000*120; przy zapisie ze średnikami ułamki mogą mieć przecinek, np. 2500,50*2.
• Przy małych próbach patrz także na Gini skorygowany. Ten sam poziom koncentracji mierzony na kilkunastu i na kilkunastu tysiącach rekordów daje inny wynik surowy, a pojedyncza zmiana potrafi wyraźnie go przesunąć.

Ograniczenia i czynniki zaburzające wynik

• To miara rozkładu, nie poziomu. Dwa zbiory o identycznym współczynniku mogą mieć zupełnie inną sumę i średnią, więc wysoki wynik nie mówi, czy wartości są duże, czy małe.
• Przy kilku obserwacjach wynik jest niestabilny — dodanie lub usunięcie jednej skrajnej wartości potrafi go zauważalnie zmienić. Kafelek „Gini bez najwyższej wartości” pokazuje skalę tego efektu.
• Zera są dopuszczalne i liczą się jako pełnoprawne obserwacje, które nic nie wnoszą do sumy. Liczb ujemnych (salda korekt, zwroty) kalkulator nie przyjmuje, bo łamią założenie nieujemnych udziałów; suma wszystkich wartości musi być większa od zera.
• Liczenie na średnich grupowych zamiast na pojedynczych obserwacjach zaniża nierówność, bo znika całe zróżnicowanie wewnątrz grup.