Kalkulator pola i obwodu trojkata

Oblicz pole trójkąta (Heron, podstawa×wysokość), obwód, kąty i rodzaj. Trójkąt ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny. Wzory krok po kroku. Bezpłatnie.

Bezpieczne (SSL)

Przetwarzanie Lokalne

100% Darmowe

Przejdź do narzędzia

Instrukcja

1

Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku.
2

Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce.
3

Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.

                                                function runTool() {

                                                  return "Wynik gotowy w 0.1s";

                                                }

Ustawienia

Sides

Pokaż kroki Opcja narzędzia

Wynik

Pole (wzór Herona)

6,00 j²

A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) — stabilny wariant Kahana z kodu

Obwód

12,00 j

P = a + b + c

Rodzaj wg boków

Różnoboczny

klasyfikacja z kodu (tolerancja względna 1e-9)

Prostokątny?

Tak

tw. Pitagorasa a² + b² = c² (tolerancja względna z kodu)

Poprawność danych

nierówność trójkąta a + b > c zachowana

Pokaż pełne podsumowanie i kroki

Sides: a=3, b=4, c=5
Perimeter (P): 12
Area (A): 6
Type: Scalene
Right triangle: Yes

Steps:
s = P/2 = 12/2 = 6
A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
A = √(6(6-3)(6-4)(6-5))

Ściąga: wzór Herona i klasyfikacja z kodu narzędzia

Wzór z kodu silnika: s = (a + b + c) / 2 (półobwód), A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) — stabilny wariant Kahana dla skrajnych boków; nierówność trójkąta sprawdzana na posortowanych bokach (najkrótszy + środkowy > najdłuższy). Kolumny z wartościami są liczone DOKŁNIE silnikiem dla podanych boków
Boki (wejście)	Pole (j²)	Obwód (j)	Rodzaj wg boków	Uwaga z silnika
3, 4, 5	6,00	12,00	Różnoboczny	prostokątny: tak (a² + b² = c²)
6, 6, 6	15,59	18,00	Równoboczny	prostokątny: nie
5, 5, 8	12,00	18,00	Równoramienny	prostokątny: nie
2, 3, 4	2,90	9,00	Różnoboczny	prostokątny: nie
1, 2, 10	—	—	—	nierówność trójkąta naruszona (a + b > c) — silnik odrzuca boki

Silnik przyjmuje boki rozdzielone przecinkami, spacjami lub średnikami, a zapis „3,5 4,5 5,5” rozpoznaje jako trzy boki dziesiętne (przecinek = kropka dziesiętna). Rodzaj wg boków: równoboczny (a = b = c), równoramienny (dwie pary równe) albo różnoboczny — porównanie z tolerancją względną 1e-9 z kodu, więc 0,0001 nie udaje prostokątnego przez błąd zaokrągleń. Prostokątność sprawdzana tw. Pitagorasa na posortowanych bokach. Boki muszą być większe od 0, nie większe niż 10¹², a naruszona nierówność a + b > c kończy się komunikatem silnika „These sides do not form a valid triangle (triangle inequality failed).”.

Warto wiedzieć — pole i obwód trójkąta

Wzór Herona — pole z samych boków

Nie masz wysokości? Nie trzeba: półobwód s = (a+b+c)/2, a pole A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Dla boków 3–4–5: s = 6, A = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Wzór działa dla każdego trójkąta, także bez kąta prostego — dlatego jest podstawą pomiarów działek i geodezji „na trzy kroki”.

Nierówność trójkąta a + b > c

Boki 1, 2 i 10 nie złożą się w trójkąt: najdłuższy bok musi być krótszy od sumy pozostałych — inaczej dwa odcinki „nie dosięgną” trzeciego. Silnik sprawdza to przed liczeniem (na posortowanych bokach) i zwraca komunikat, a kafelek „Poprawność danych” pokazuje wtedy status Problem z powodem.

Rodzaje wg boków

Równoboczny (6–6–6): wszystkie boki równe, wszystkie kąty 60°. Równoramienny (5–5–8): dwie równe ramiona — tu pole z Herona to dokładnie 12. Różnoboczny (2–3–4, 3–4–5): wszystkie boki różne. Klasyfikator z kodu porównuje boki z tolerancją względną, więc boki zadane z groszową dokładnością nie zmieniają rodzaju przez artefakty float.

Prostokątny? Tw. Pitagorasa

Jeśli a² + b² = c² dla najdłuższego boku, trójkąt jest prostokątny — klasyczne 3–4–5 (9 + 16 = 25). Kafelek „Prostokątny?” sprawdza to na posortowanych bokach z tolerancją względną. Przydatne w budowlance: 3–4–5 to najprostszy sposób wytyczenia kąta prostego na placu.

Oceń to narzędzie:

Powiązane narzędzia

Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać

Kalkulator pola i obwodu trójkąta – wszystkie wzory

Trójkąt to podstawowa figura geometryczna z trzema bokami i trzema kątami sumującymi się do 180°. Kalkulator oblicza pole (wzór Herona, 1/2bh), obwód, brakujące boki/kąty (twierdzenie cosinusów, sinusów) i klasyfikuje typ trójkąta.

kalkulator pola trójkąta obwód trójkąta wzór Herona trójkąt obliczenia kalkulator

Wzory na pole trójkąta

Pole = (podstawa × wysokość) / 2. Wzór Herona: s=(a+b+c)/2; P = √(s×(s-a)×(s-b)×(s-c)). Dwa boki i kąt między nimi: P = (1/2) × a × b × sin(C). Trójkąt równoboczny: P = (√3/4) × a². Trójkąt prostokątny: P = (1/2) × przyprostokątna1 × przyprostokątna2.

Obliczanie brakujących elementów

Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² - 2ab×cos(C). Twierdzenie sinusów: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Suma kątów: A + B + C = 180°. Brakująca strona z 2 boków i kąta: użyj twierdzenia cosinusów. Brakujący kąt z 3 boków: arccos((a²+b²-c²)/(2ab)).

Rodzaje trójkątów

Ostrokątny: wszystkie kąty < 90°. Prostokątny: jeden kąt = 90° (Pitagoras: a²+b²=c²). Rozwartokątny: jeden kąt > 90°. Równoboczny: a=b=c, wszystkie kąty=60°. Równoramienny: dwa boki równe. Różnoramienny: wszystkie boki różne. Sprawdzenie: prostokątny jeśli a²+b²=c² (dla c=hypotenuza).

Wysokości trójkąta

Wysokość h_a (na bok a): h_a = 2P/a (gdzie P = pole). Dla trójkąta prostokątnego: h na hypotenuzę c: h = (a×b)/c. Śladowe punkty: orthocentrum = punkt przecięcia wysokości. Wewnątrz dla ostrokątnego, zewnątrz dla rozwartokątnego, na wierzchołku dla prostokątnego.

Jak działa kalkulator krok po kroku

Kalkulator nie ma jednej uniwersalnej ścieżki obliczeń — wszystko zależy od tego, jaki zestaw danych wprowadzisz. Jeśli podasz trzy boki, narzędzie najpierw sprawdza warunek istnienia trójkąta, czyli to, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego. Dopiero potem liczy obwód jako sumę a + b + c, a następnie przechodzi do pola. Wariant „podstawa i wysokość” oraz „dwa boki i kąt między nimi” są obsługiwane osobnymi ścieżkami, bo pozwalają wyznaczyć pole bezpośrednio, bez znajomości trzeciego boku.

Fundamentem dla wariantu z trzema bokami jest wzór Herona. Kluczowa jest tu wartość pośrednia s, czyli połowa obwodu. Pole to pierwiastek z iloczynu czterech czynników: s oraz trzech różnic s minus kolejny bok. Taki zapis działa dla każdego trójkąta — ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego — i nie wymaga znajomości żadnego kąta ani wysokości. Dlatego przy trzech bokach to właśnie Heron jest pierwszym krokiem, a nie twierdzenie cosinusów.

Gdy dane wejściowe są inne, kalkulator korzysta z zależności trygonometrycznych. Dwa boki i kąt między nimi dają pole bezpośrednio ze wzoru z sinusem. Trzeci bok wyznacza twierdzenie cosinusów, a brakujące kąty — twierdzenie sinusów albo przekształcony wzór cosinusowy, w którym kąt liczy się jako arccos z ilorazu różnicy kwadratów boków i podwojonego iloczynu dwóch boków. Na końcu, znając już pole, narzędzie wyznacza wysokości jako iloraz podwojonego pola i długości boku, na który wysokość pada, i klasyfikuje trójkąt na podstawie największego kąta lub porównania kwadratów boków.

Przykład obliczeń dla trójkąta o bokach 3, 4 i 5

Wprowadzasz trzy boki: a = 3, b = 4, c = 5. Kalkulator najpierw sprawdza warunek istnienia trójkąta: 3 + 4 = 7, a 7 > 5, więc dane są poprawne.
Obwód to suma boków: 3 + 4 + 5 = 12.
Półobwód: s = 12 / 2 = 6.
Pole ze wzoru Herona: P = √(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. Kontrola innym wzorem: (1/2) × 3 × 4 = 6, wynik się zgadza.
Wysokości z pola: h_a = 2 × 6 / 3 = 4, h_b = 2 × 6 / 4 = 3, h_c = 2 × 6 / 5 = 2,4.
Klasyfikacja i kąty: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², więc trójkąt jest prostokątny. Z twierdzenia cosinusów cos(C) = (9 + 16 − 25) / (2 × 3 × 4) = 0, czyli kąt C = 90°.

Tabela referencyjna wzorów i wyników

Dane wejściowe	Wzór	Wynik dla boków 3, 4, 5
Trzy boki	Obwód = a + b + c	12
Trzy boki	s = (a + b + c) / 2	6
Trzy boki	P = √(s(s−a)(s−b)(s−c))	6
Bok i wysokość na ten bok	P = (a × h_a) / 2	(3 × 4) / 2 = 6
Dwa boki i kąt między nimi	P = (1/2) × a × b × sin(C)	(1/2) × 3 × 4 × 1 = 6
Pole i bok	h_a = 2P / a	h_a = 4, h_b = 3, h_c = 2,4
Trzy boki	cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)	0 / 24 = 0, czyli C = 90°
Trzy boki	Test prostokątności: a² + b² ? c²	9 + 16 = 25, trójkąt prostokątny

Praktyczne wskazówki przy korzystaniu z kalkulatora

Wybierz zestaw danych, który faktycznie znasz. Jeśli mierzysz trzy boki, nie zgaduj kąta — wprowadź boki i pozwól narzędziu wyliczyć kąty z twierdzenia cosinusów. Wprowadzanie nadmiarowych, przybliżonych wartości tylko pogorszy wynik.
Trzymaj się jednej jednostki w całym obliczeniu. Boki podawaj w tej samej jednostce, np. wszystkie w centymetrach. Wtedy obwód wyjdzie w centymetrach, a pole w centymetrach kwadratowych — bez dodatkowego przeliczania.
Sprawdź warunek trójkąta, zanim zaczniesz liczyć. Najdłuższy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Jeśli tak nie jest, wynik Herona wyjdzie z pierwiastka liczby ujemnej i nie ma sensu geometrycznego.
Użyj wysokości jako szybkiej kontroli pola. Po obliczeniu pola policz h = 2P / bok — jeśli wysokość wypada absurdalnie duża w stosunku do boków, sprawdź, czy nie pomyliłeś jednostek lub cyfr.
Klasyfikację traktuj jako kontrolę poprawności danych. Gdy trójkąt wychodzi prostokątny, a w zadaniu wyraźnie opisano go jako rozwartokątny, niemal zawsze oznacza to błąd we wprowadzonych długościach.

Czego kalkulator nie uwzględnia

Zaokrąglanie wyników. Narzędzie pokazuje wyniki z ograniczoną liczbą miejsc po przecinku, więc przy bardzo małych lub bardzo dużych liczbach ostatnie cyfry mogą się różnić od obliczeń na pełnej precyzji. Do dalszych rachunków lepiej użyć wartości z większą liczbą miejsc.
Tylko trójkąty płaskie. Kalkulator pracuje w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie. Trójkąty sferyczne, w których suma kątów jest większa od 180°, wymagają innych wzorów i nie są tu obsługiwane.
Dane wejściowe muszą być spójne. Jeśli trzy boki nie spełniają warunku trójkąta, nie da się z nich zbudować figury i żadne pole nie istnieje. Podanie samego pola i obwodu również nie wyznacza trójkąta jednoznacznie.
Brak automatycznej konwersji jednostek. Kalkulator nie zamienia metrów na stopy ani stopni na radiany. Wynik zawsze odnosi się do jednostki, w której podano dane, a kąty podawane są w stopniach.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole trójkąta znając 3 boki?

Wzór Herona: s = (a+b+c)/2. P = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)). Przykład: a=3, b=4, c=5. s=6. P=sqrt(6×3×2×1)=sqrt(36)=6. Sprawdzenie: 3-4-5 to trójkąt prostokątny, P=(3×4)/2=6 ✓. Calculator: wprowadź 3 boki i kliknij oblicz.

Jak sprawdzić czy dane 3 boki tworzą trójkąt?

Nierówność trójkąta: każdy bok < suma dwóch pozostałych. a < b+c, b < a+c, c < a+b. Przykład: 3,4,5 → 3<9, 4<8, 5<7 ✓. Kontrprzykład: 1,2,10 → 10 < 1+2=3 ✗ (nie trójkąt). Równość (trójkąt zdegenerowany): a=b+c → odcinek, nie trójkąt.

Twierdzenie Pitagorasa – zastosowania

c² = a² + b² (trójkąt prostokątny). Sprawdzenie kąta prostego: 3²+4²=5² → 9+16=25 ✓. Przekątna prostokąta: d=√(a²+b²). Odległość punktów: d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²). Trójkąty pitagorejskie: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.

Jak kalkulator oblicza kąty z boków?

Twierdzenie cosinusów: A = arccos((b²+c²-a²)/(2bc)). Gdy znamy a,b,c: oblicz A, B, potem C = 180°-A-B. JavaScript: Math.acos((b*b+c*c-a*a)/(2*b*c)) * (180/Math.PI) = stopnie. Sprawdzenie: A+B+C powinno = 180°.

Co to jest trójkąt Pascala i co ma wspólnego z trójkątem geometrycznym?

Trójkąt Pascala: macierz współczynników dwumianowych (1, 1 1, 1 2 1, ...). Budowany przez dodawanie sąsiednich elementów. Geometria: trójkąt Sierpińskiego (fraktal) można uzyskać z trójkąta Pascala (mod 2). Matematycznie: "trójkąt Pascala" i "trójkąt geometryczny" to kompletnie różne koncepty – łączy je tylko nazwa.

Co to jest półobwód trójkąta i po co się go liczy?

Półobwód to połowa sumy wszystkich boków, oznaczana literą s. Występuje we wzorze Herona, gdzie pole jest pierwiastkiem z iloczynu s i trzech różnic między s a kolejnymi bokami. Bez tej wartości wzór Herona nie ma zastosowania.

Jak obliczyć wysokość trójkąta, znając tylko trzy boki?

Najpierw liczysz pole ze wzoru Herona, a potem dzielisz podwojone pole przez długość wybranego boku. Otrzymujesz wysokość padającą na ten bok — dla każdego z trzech boków wychodzi inna wartość.

Czy z każdych trzech odcinków da się zbudować trójkąt?

Nie. Najdłuższy odcinek musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Jeśli jest równy lub dłuższy, odcinki się nie przetną i figura nie powstanie — kalkulator zgłosi wtedy brak poprawnego rozwiązania.

Dlaczego pole trójkąta równobocznego liczy się innym wzorem?

W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe, a wysokość da się wyrazić przez bok, więc wzór Herona upraszcza się do postaci z pierwiastkiem z trzech przez cztery razy bok do kwadratu. To ten sam wzór, tylko zapisany krócej.

Czy kalkulator zwraca kąty w stopniach, czy w radianach?

Kąty podawane są w stopniach, ponieważ tak najczęściej zapisuje się dane w zadaniach szkolnych i pomiarach. Suma trzech kątów trójkąta zawsze wynosi 180°, co pozwala szybko sprawdzić otrzymane wartości.

Powiązane narzedzia: kalkulator trojkata prostokatnego, kalkulator pola figur i kalkulator wektorow.