Kalkulator trojkata prostokatnego

Oblicz wszystkie parametry trójkąta prostokątnego: boki (a, b, c), kąty (α, β), pole i obwód. Wpisz 2 dane – reszta obliczona automatycznie przez twierdzenie Pitagorasa.

Bezpieczne (SSL)

Przetwarzanie Lokalne

100% Darmowe

Przejdź do narzędzia

Instrukcja

1

Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku.
2

Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce.
3

Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.

                                                function runTool() {

                                                  return "Wynik gotowy w 0.1s";

                                                }

Ustawienia

Miejsca dziesiętne

Jednostka

Pokaż kroki Opcja narzędzia

Wynik

Obliczony bok c

5,00 cm

Z twierdzenia Pitagorasa. Pole 6,00 cm², obwód 12,00 cm.

Bok a

3,00 cm

Bok b

4,00 cm

Przeciwprostokątna c

5,00 cm

Kąt α (naprzeciw a)

36,87 °

Kąt β (naprzeciw b)

53,13 °

Pole

6,00 cm²

Obwód

12,00 cm

Pokaż kroki obliczeń

c = √(a² + b²)
c = √(3² + 4²)
c = √(9 + 16)
Obliczony bok: C

Ściąga: trójki pitagorejskie — wpisz a i b, zostaw c puste (tryb rozwiązywania)

Wartości liczone wzorami silnika: c = √(a² + b²), pole = a·b/2, kąty z arcsin
Boki a; b; c	Pole	Obwód	α (°)	β (°)	Komentarz
3; 4; 5	6	12	36,87	53,13	klasyka na budowach — sznurek z 12 równymi odcinkami wyznacza kąt prosty
5; 12; 13	30	30	22,62	67,38	ciekawostka: pole i obwód mają tę samą wartość (30)
8; 15; 17	60	40	28,07	61,93	wielokrotności: 16-30-34, 24-45-51
6; 8; 10	24	24	36,87	53,13	trójka 3-4-5 pomnożona × 2 — skalowanie zachowuje prostokątność

Bok c pełni rolę przeciwprostokątnej i w narzędziu musi być najdłuższym bokiem — przy trzech podanych bokach narzędzie sprawdza prostokątność (Δ = c² − (a² + b²) w granicy tolerancji zaokrągleń).

Ściąga: wzory trójkąta prostokątnego i tryby narzędzia

Narzędzie przyjmuje boki (2 → liczy resztę, 3 → sprawdza prostokątność); kąty zawsze są wynikiem, nie wejściem
Wzór	Do czego służy
c² = a² + b²	twierdzenie Pitagorasa — trzeci bok, gdy znasz dwa (tryb: dwa boki)
a = √(c² − b²), b = √(c² − a²)	przyprostokątna z przeciwprostokątnej i drugiego boku
Pole = a·b / 2	połowa prostokąta zbudowanego na przyprostokątnych
sin α = a/c, cos α = b/c, tan α = a/b	kąty z boków — narzędzie liczy je przez arcsin (kątów nie wpisujesz, są wynikiem)
α + β = 90°	suma kątów ostrych — szybka kontrola wyniku
Δ = c² − (a² + b²)	tryb: trzy boki — Δ = 0 w granicy tolerancji zaokrągleń → trójkąt prostokątny

Przy dwóch bokach narzędzie liczy trzeci bok, oba kąty ostre, pole i obwód. Przeciwprostokątna c nie może być krótsza od przyprostokątnej — taki układ dostanie czytelny komunikat zamiast błędnych liczb.

Warto wiedzieć — trójkąt prostokątny w praktyce

Konstrukcje i kąt prosty

Trójkąt 3-4-5 to najstarsze narzędzie geodety: sznurek z węzłami co jedną jednostkę naciągnięty na 3, 4 i 5 daje idealnie prosty kąt. Podobnie sprawdza się narożniki tarasów i fundamentów — wpisz trzy boki, a kafelek „Sprawdzenie” pokaże, czy kąt jest prosty w granicach tolerancji pomiaru.

Trójki pitagorejskie i skalowanie

3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 to trójki liczb całkowitych spełniających a² + b² = c². Każdą z nich możesz pomnożyć przez dowolną liczbę: 3-4-5 × 2 = 6-8-10, × 3 = 9-12-15 — prostokątność zostaje, więc trójki całkowite wygodnie zastępują mierzenie kątów.

Pochylnie, dachy, przekątne

Kąt pochylni obliczysz z sin α = h/l (wysokość do długości), kąt nachylenia połaci dachu z tan, a przekątną ekranu czy działki z twierdzenia Pitagorasa. Znajomość α + β = 90° pozwala wyliczyć drugi kąt w głowie, gdy znasz pierwszy.

Pomiary i tolerancja

Realne pomiary są zaokrąglone, więc c rzadko spełnia równanie co do setnej. Narzędzie akceptuje odchyłkę zgodną z wybraną liczbą miejsc dziesiętnych i wtedy pokazuje status „Trójkąt prostokątny”; większe odchyłki oznaczają, że któryś pomiar wymaga korekty. Jednostkę (cm, m, cale) podajesz sam — wyniki dziedziczą ją bez przeliczania.

Oceń to narzędzie:

Powiązane narzędzia

Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać

Kalkulator trójkąta prostokątnego – twierdzenie Pitagorasa i trygonometria

Trójkąt prostokątny (kąt 90°) to fundament geometrii i trygonometrii. Kalkulator oblicza wszystkie boki, kąty, pole i obwód na podstawie dowolnych dwóch znanych wartości – wystarczy podać 2 z 5 parametrów (a, b, c, α, β) i wszystko jest gotowe.

kalkulator trójkąta prostokątnego twierdzenie Pitagorasa kalkulator oblicz boki trójkąta trygonometria kalkulator

Twierdzenie Pitagorasa

a² + b² = c² (gdzie c to przeciwprostokątna). Wyznaczanie: c = √(a²+b²). a = √(c²-b²). b = √(c²-a²). Przykład: a=3, b=4 → c=5 (trójka pitagorejska 3-4-5). Trójki pitagorejskie: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29.

Funkcje trygonometryczne

sin(α) = a/c (przeciwległe/przeciwprostokątna). cos(α) = b/c (przyległe/przeciwprostokątna). tan(α) = a/b (przeciwległe/przyległe). Wyznaczanie kąta: α = arcsin(a/c) = arccos(b/c) = arctan(a/b). Suma kątów: α + β = 90° (kąt przy C zawsze 90°).

Pole i obwód

Pole = (a × b) / 2. Obwód = a + b + c. Promień okręgu wpisanego (r): r = (a + b - c) / 2. Promień okręgu opisanego (R): R = c / 2 (okrąg opisany ma środek w połowie przeciwprostokątnej).

Obliczenia przy różnych danych wejściowych

Dane a i b: c=√(a²+b²), α=arctan(a/b), β=arctan(b/a). Dane c i α: a=c×sin(α), b=c×cos(α), β=90°-α. Dane a i α: c=a/sin(α), b=a/tan(α), β=90°-α. Dane a i c: b=√(c²-a²), α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c). Narzędzie obsługuje każdą kombinację.

Jak kalkulator rozwiązuje trójkąt z dwóch danych

Trójkąt prostokątny opisują trzy boki (a, b, c) oraz dwa kąty ostre (alfa, beta), ale te pięć wartości nie jest niezależnych. Kąt prosty jest z góry ustalony, suma kątów ostrych wynosi 90 stopni, a długości boków wiąże ze sobą twierdzenie Pitagorasa. Zostają więc dwa stopnie swobody: jeden kąt decyduje o kształcie figury, jeden bok o jej rozmiarze. Dlatego kalkulator potrzebuje dokładnie dwóch danych, a pozostałe trzy wielkości wylicza z nich.

Po odczytaniu danych narzędzie rozpoznaje, która para została wpisana, i dobiera do niej łańcuch przekształceń. Gdy w parze występuje bok i przeciwprostokątna, najpierw wyznaczana jest brakująca długość, a dopiero potem kąty z funkcji odwrotnych: arcsin, arccos albo arctan. Gdy w parze jest kąt, kierunek obliczeń się odwraca: bok powstaje jako iloczyn przeciwprostokątnej i sinusa lub cosinusa kąta. Kąty są przy tym przeliczane wewnętrznie na radiany, bo takie jednostki przyjmują funkcje trygonometryczne, a wynik wraca na końcu do stopni.

Ostatni etap to wyliczenie wartości pochodnych: pola, obwodu oraz promieni okręgu wpisanego i opisanego. Liczone są one z już gotowego zestawu boków, a nie wprost z danych wejściowych, dzięki czemu nie powielają błędu zaokrąglenia wpisanej liczby. Równolegle narzędzie odrzuca dane niespójne: wartości zerowe lub ujemne, bok dłuższy niż przeciwprostokątna oraz kąt równy albo większy od 90 stopni.

Przykład krok po kroku: przyprostokątna 8 i przeciwprostokątna 17

Dane wejściowe to przyprostokątna a = 8 oraz przeciwprostokątna c = 17. Nie znamy drugiej przyprostokątnej ani żadnego z kątów ostrych.
Brakujący bok wyznaczamy z zależności między bokami: b = pierwiastek z (17 do kwadratu minus 8 do kwadratu) = pierwiastek z (289 minus 64) = pierwiastek ze 225 = 15.
Kąt alfa leży naprzeciw boku a, więc alfa = arcsin(8 dzielone przez 17) = arcsin(0,4706) i wynosi około 28,07 stopnia.
Kąt beta dopełnia się do 90 stopni: beta = 90 minus 28,07 = 61,93 stopnia. Kontrola z drugiej strony: arcsin(15 dzielone przez 17) = arcsin(0,8824) daje tę samą wartość.
Pole to połowa iloczynu przyprostokątnych: (8 razy 15) dzielone przez 2 = 60. Obwód to suma boków: 8 + 15 + 17 = 40.
Promienie na koniec: r = (8 + 15 minus 17) dzielone przez 2 = 3, a R = 17 dzielone przez 2 = 8,5. Trójka 8-15-17 jest pitagorejska, więc boki są całkowite i żaden z tych wyników nie jest zaokrągleniem.

Trójki pitagorejskie z wyliczonym polem, obwodem i promieniami

Boki a, b, c	Kąt alfa naprzeciw a	Pole	Obwód	Promień r	Promień R
3, 4, 5	36,87 stopnia	6	12	1	2,5
5, 12, 13	22,62 stopnia	30	30	2	6,5
8, 15, 17	28,07 stopnia	60	40	3	8,5
7, 24, 25	16,26 stopnia	84	56	3	12,5
20, 21, 29	43,60 stopnia	210	70	6	14,5

Jak korzystać z kalkulatora, żeby nie popełnić błędu

Ustal, co już wiesz. Najpierw wypisz dane z zadania i sprawdź, czy są wśród nich dwie niezależne wartości. Dwa boki albo bok i kąt ostry to zestaw wystarczający, natomiast ten sam bok podany dwa razy nadal jest jedną daną.
Pilnuj, do którego boku odnosi się kąt. W zapisie kąt alfa leży naprzeciw boku a, dlatego sinus alfa równa się a podzielone przez c. Podanie kąta razem z bokiem, przy którym ten kąt faktycznie leży, prowadzi do błędnego wyniku.
Nie zaokrąglaj wartości pośrednich. Jeśli liczysz dalej na kartce, podstawiaj pełną wartość z kalkulatora, a nie skróconą do dwóch miejsc. Skrócone zaokrąglenie użyte drugi raz potrafi przesunąć wynik końcowy.
Sprawdź wynik drugą drogą. Suma kątów ostrych musi dać 90 stopni, a podstawienie boków do zależności między bokami powinno się zgadzać. Pole liczone z przyprostokątnych musi być większe od zera i mniejsze od połowy kwadratu przeciwprostokątnej.
Trzymaj jedną jednostkę długości. Boki podawaj w tej samej jednostce, bo mieszanie centymetrów i metrów daje liczbę arytmetycznie poprawną, ale geometrycznie bez sensu.

Czego kalkulator nie uwzględnia

Kąt prosty jest założony z góry. Narzędzie przyjmuje, że jeden z kątów ma 90 stopni, i nie wyprowadza tego założenia z danych. Dla trójkąta ostrokątnego albo rozwartokątnego otrzymane liczby będą nieprawdziwe.
Precyzja ograniczona do wyświetlanych miejsc. Pierwiastki i funkcje odwrotne rzadko dają liczby skończone, więc część wyników jest zaokrąglona. Przy dalszych obliczeniach taki błąd się kumuluje.
Brak jednostek i niepewności pomiaru. Kalkulator nie wie, czy wpisana liczba oznacza centymetry, metry czy cale, ani z jaką dokładnością zmierzono bok. Wynik nigdy nie jest dokładniejszy niż dane wejściowe.
Brak weryfikacji zgodności z treścią zadania. Narzędzie przelicza dwie podane wartości i nie sprawdza, czy trzecia wielkość występująca w zadaniu jest z nimi spójna. Ewentualnej sprzeczności w danych nie wykryje.

Najczęstsze pytania

Co to jest trójca pitagorejska?

Trójca pitagorejska to 3 liczby całkowite (a, b, c) spełniające a²+b²=c². Pierwotne trójce: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Generowanie: a=m²-n², b=2mn, c=m²+n² dla m>n>0. Wzory Euklidesa na wszystkie pierwotne trójce pitagorejskie.

Jak zapamiętać funkcje trygonometryczne?

Mnemotechnika SOH-CAH-TOA (angielska): Sin=Opposite/Hypotenuse, Cos=Adjacent/Hypotenuse, Tan=Opposite/Adjacent. Po polsku: "Sinus to Przeciwległe przez Przeciwprostokątną". Alternatywna: wyobraź sobie trójkąt z podpisanymi bokami.

Jakie są zastosowania trójkąta prostokątnego?

Budownictwo: obliczanie nachylenia dachu (kąt + długość). Nawigacja: odległość i kierunek. Fizyka: rozkład sił (wektory). Elektronika: impedancja w obwodach AC. Grafika komputerowa: transformacje 2D/3D. Geodezja: triangulacja punktów terenu.

Jak liczyć trójkąt prostokątny na kalkulatorze naukowym?

Klawisz sin/cos/tan: podajesz kąt, wynik = stosunek boków. Klawisz arcsin/arccos/arctan (2nd + sin): podajesz stosunek, wynik = kąt w stopniach. Przełącznik DEG/RAD: dla typowych zadań używaj DEG. Narzędzie online automatycznie oblicza wszystkie wartości jednocześnie.

Co to jest pitagorejska trójka i jak ją sprawdzić?

Sprawdź: a²+b²=c²? Dla 6-8-10: 36+64=100 ✓. Dla 5-7-9: 25+49=74≠81 ✗. Każda wielokrotność trójki pitagorejskiej też jest trójką: 3-4-5 → 6-8-10 → 9-12-15.

Ile danych wystarczy, aby obliczyć trójkąt prostokątny?

Dwie niezależne wartości, na przykład dwie przyprostokątne, przyprostokątną i przeciwprostokątną albo bok i kąt ostry. Trzecia wielkość nie wnosi już nowej informacji, ponieważ wynika z pozostałych.

Jak obliczyć kąt ostry, mając dwa boki?

Za pomocą funkcji odwrotnej do sinusa, cosinusa lub tangensa. Dla przyprostokątnej a i przeciwprostokątnej c kąt alfa równa się arcsin(a/c), a gdy znasz obie przyprostokątne, wystarczy arctan(a/b).

Czy kalkulator podaje kąty w stopniach, czy w radianach?

Wyniki kątowe prezentowane są w stopniach, bo tak najczęściej zapisuje się dane w zadaniach. Jeśli potrzebujesz radianów, pomnóż wartość w stopniach przez liczbę pi i podziel przez 180.

Dlaczego pojawia się błąd, gdy przyprostokątna jest dłuższa od przeciwprostokątnej?

Taki trójkąt nie może istnieć, bo przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. Sprawdź, czy nie zamieniłeś wartości miejscami lub nie wpisałeś przyprostokątnej w polu przeciwprostokątnej.

Czy trójkąt prostokątny może mieć dwie przyprostokątne równej długości?

Tak, to trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 45, 45 i 90 stopni. Obie przyprostokątne są wtedy równe, a przeciwprostokątna jest od każdej z nich dłuższa.

Powiązane narzędzia: kalkulator proporcji, kalkulator BMI i kalkulator procentów.