Wzór Herona — pole trójkąta z boków

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znasz tylko długości trzech boków — bez wysokości i kątów. Kalkulator powyżej sprawdza, czy taki trójkąt istnieje, liczy połowę obwodu i pole krok po kroku, podaje wynik dokładny (z uproszczonym pierwiastkiem) i przybliżony, a do tego wysokości, kąty, promienie okręgów wpisanego i opisanego oraz rysunek trójkąta w skali.

Wzór Herona

Wzór Herona jest w tablicach maturalnych (w części o trójkątach), więc można z niego korzystać na egzaminie bez wyprowadzania. Nazwa pochodzi od Herona z Aleksandrii, greckiego matematyka i inżyniera z I wieku n.e., który opisał wzór w dziele „Metrika”.

Przykład krok po kroku: trójkąt o bokach 5, 6, 7

1. Warunek trójkąta: 5 + 6 > 7, 5 + 7 > 6, 6 + 7 > 5 — trójkąt istnieje.
2. Połowa obwodu: p = (5 + 6 + 7) / 2 = 9.
3. Różnice: p − a = 4, p − b = 3, p − c = 2.
4. Pole: P = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 6√6 ≈ 14,6969.
5. Dodatkowo: wysokość na bok 5 to hₐ = 2P/5 ≈ 5,8788, promień okręgu opisanego R ≈ 3,5722, wpisanego r ≈ 1,633, a kąty mają 44,42°, 57,12° i 78,46° — trójkąt jest ostrokątny.

Przykłady trójkątów

Kiedy trójkąt nie istnieje — warunek trójkąta

Z trzech odcinków da się zbudować trójkąt tylko wtedy, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić najdłuższy bok. Dla boków 1, 2 i 10 suma 1 + 2 = 3 jest mniejsza od 10 — trójkąt nie istnieje, a wzór Herona dałby pierwiastek z liczby ujemnej. Gdy suma dwóch boków jest dokładnie równa trzeciemu (np. 1, 2, 3), „trójkąt” jest odcinkiem i ma pole 0. Kalkulator wykrywa oba przypadki i wyjaśnia, którego warunku brakuje.

Dokładny wynik z pierwiastkiem

W zadaniach szkolnych pole zapisuje się zwykle w postaci dokładnej. Kalkulator mnoży p(p − a)(p − b)(p − c) na ułamkach, a potem wyłącza czynnik przed pierwiastek: √216 = √(36 · 6) = 6√6. Dla boków z ułamkami, np. 1/2, 1/2, 1/2, wynikiem jest √3/16. Przybliżenie dziesiętne liczone jest stabilną wersją wzoru (wariant Kahana), dzięki czemu nawet dla bardzo „płaskich” trójkątów, np. o bokach 100 000 000, 100 000 000 i 1, wynik nie traci dokładności.

Wzór Herona a inne wzory na pole trójkąta

• P = ½ a · h — gdy znasz bok i wysokość opuszczoną na ten bok.
• P = ½ ab · sin γ — gdy znasz dwa boki i kąt między nimi.
• P = a²√3 / 4 — dla trójkąta równobocznego.
• Wzór Herona — gdy znasz tylko trzy boki.

Pole trójkąta innymi metodami policzysz w kalkulatorze pola i obwodu trójkąta, a trójkąt prostokątny rozwiążesz w kalkulatorze trójkąta prostokątnego.

Wzór Herona dla czworokąta

Odpowiednikiem wzoru Herona dla czworokąta jest wzór Brahmagupty: P = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)), gdzie p to połowa obwodu. Działa on jednak tylko dla czworokąta wpisanego w okrąg — dla dowolnego czworokąta same długości boków nie wyznaczają pola. Ten kalkulator liczy pole trójkąta; czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty i policzyć każdy z nich wzorem Herona, jeśli znasz długość przekątnej.