Trójkąt równoboczny — wzory na pole, wysokość i obwód, kalkulator
Wpisz bok, wysokość, obwód albo pole, a policzymy resztę: pole, wysokość, obwód i promienie okręgów.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Pole
Obliczane na żywo po wpisaniu wymiarów
Wysokość
Obwód
Promień okręgu opisanego
Skopiuj wynik do schowka albo pobierz plik .txt — z wymiarami, wzorem, wynikiem, wartościami dodatkowymi i definicjami.
| a | Pole trójkąta równobocznego (cm²) |
|---|---|
| 1 | 0,433 cm² |
| 2 | 1,732 cm² |
| 3 | 3,897 cm² |
| 4 | 6,928 cm² |
| 5 | 10,825 cm² |
| 6 | 15,588 cm² |
| 8 | 27,713 cm² |
| 10 | 43,301 cm² |
| 12 | 62,354 cm² |
| 20 | 173,205 cm² |
Kolumna wyniku pochodzi z dokładnie tego samego serwerowego wzoru co kalkulator powyżej (π = 3,14159…, bez zaokrągleń pośrednich). Inne wymiary wpisz w polach na górze.
| Figura | Wzór | Jednostka |
|---|---|---|
| Pole trójkąta równobocznego — ten kalkulator | P = a² · √3 / 4 | cm² |
| Pole koła | P = π · r² | cm² |
| Pole trapezu | P = ½ · (a + b) · h | cm² |
| Pole trójkąta | P = ½ · a · h | cm² |
| Pole prostokąta | P = a · b | cm² |
| Pole kwadratu | P = a² | cm² |
| Pole rombu | P = ½ · e · f | cm² |
| Pole równoległoboku | P = a · h | cm² |
| Objętość walca | V = π · r² · h | cm³ |
| Objętość kuli | V = 4/3 · π · r³ | cm³ |
| Objętość stożka | V = 1/3 · π · r² · h | cm³ |
| Objętość prostopadłościanu | V = a · b · c | cm³ |
| Objętość sześcianu | V = a³ | cm³ |
| Przeciwprostokątna trójkąta 30-60-90 | c = 2a, b = a · √3 | cm |
| Przekątna kwadratu | d = a · √2 | cm |
| Pole sześciokąta foremnego | P = 3 · a² · √3 / 2 | cm² |
Pola liczymy w jednostkach kwadratowych (mm², cm², m²), objętości w sześciennych (mm³, cm³, m³). Każdy wzór realizuje odpowiedni kalkulator z tej listy.
| Pojęcie | Znaczenie |
|---|---|
| Bok a | trzy boki mają równą długość, a każdy kąt wewnętrzny 60°. |
| Wysokość h | h = a · √3 / 2 ≈ 0,866 · a; dzieli trójkąt na dwa trójkąty 30-60-90. |
| Okrąg opisany i wpisany | R = a · √3 / 3 (⅔ wysokości), r = a · √3 / 6 (⅓ wysokości). |
| Znasz wysokość? | a = 2h / √3 ≈ 1,155 · h. |
Nowa podstawa programowa (Kompas Jutra) · Kalendarz roku szkolnego 2026/2027 · Analiza wyników sprawdzianu · Koniec semestru — klasyfikacja śródroczna · Plan lekcji · Plan działu · Komentarze do świadectw
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać
Podaj dalej
Komuś też się przyda?
Wyślij znajomemu link. Otworzy narzędzie od razu, bez konta i bez opłat.
Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i trzy kąty po 60°. Wszystkie jego wymiary wynikają z długości boku a, a kalkulator policzy je także z wysokości, obwodu albo pola.
Wzory na trójkąt równoboczny
| Wielkość | Wzór | W przybliżeniu |
|---|---|---|
| Wysokość h | a√3 / 2 | 0,866 · a |
| Pole P | a²√3 / 4 | 0,433 · a² |
| Obwód | 3a | |
| Promień okręgu opisanego R | a√3 / 3 = ⅔ h | 0,577 · a |
| Promień okręgu wpisanego r | a√3 / 6 = ⅓ h | 0,289 · a |
Wzory odwrotne: gdy znasz wysokość, obwód albo pole
- z wysokości:
a = 2h / √3 = 2h√3 / 3, - z obwodu:
a = Ob / 3, - z pola:
a = √(4P / √3).
Pole można też liczyć prosto z wysokości: P = h² / √3 = h²√3 / 3.
Tabela: typowe wymiary
| Bok | Wysokość | Pole | Obwód | Promień okręgu opisanego | Promień okręgu wpisanego |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,866 | 0,433 | 3 | 0,577 | 0,289 |
| 2 | 1,732 | 1,732 | 6 | 1,155 | 0,577 |
| 3 | 2,598 | 3,897 | 9 | 1,732 | 0,866 |
| 4 | 3,464 | 6,928 | 12 | 2,309 | 1,155 |
| 5 | 4,33 | 10,825 | 15 | 2,887 | 1,443 |
| 6 | 5,196 | 15,588 | 18 | 3,464 | 1,732 |
| 8 | 6,928 | 27,713 | 24 | 4,619 | 2,309 |
| 10 | 8,66 | 43,301 | 30 | 5,774 | 2,887 |
| 12 | 10,392 | 62,354 | 36 | 6,928 | 3,464 |
Okrąg opisany i wpisany
W trójkącie równobocznym środki obu okręgów leżą w tym samym punkcie, w którym przecinają się wysokości. Ten punkt dzieli każdą wysokość w stosunku 2 : 1, dlatego R = ⅔ h, a r = ⅓ h, i promień okręgu opisanego jest dwa razy dłuższy od promienia wpisanego.
Jak narysować trójkąt równoboczny cyrklem
- Narysuj odcinek AB o długości boku.
- Wbij cyrkiel w A i zakreśl łuk o promieniu AB.
- Tym samym promieniem zakreśl łuk z punktu B.
- Punkt przecięcia łuków to wierzchołek C. Połącz A, B i C.
Trójkąt równoboczny a równoramienny
Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa równe boki, więc każdy trójkąt równoboczny jest też równoramienny, ale nie odwrotnie. Trójkąt równoboczny nie może być prostokątny ani rozwartokątny, bo wszystkie jego kąty mają 60°: zawsze jest ostrokątny. Ma trzy osie symetrii.
Własności trójkąta równobocznego
- Każda wysokość jest jednocześnie środkową, dwusieczną kąta i symetralną boku.
- Wysokości przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości i środkiem obu okręgów.
- Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii i nie zmienia się po obrocie o 120°.
- Ze wszystkich trójkątów o danym obwodzie ma największe pole.
Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg
Gdy znasz promień okręgu R, bok trójkąta wpisanego wynosi a = R√3. Dla okręgu o promieniu 5 cm bok ma ok. 8,66 cm, a pole ok. 32,48 cm².
Przykład zadania
Obwód trójkąta równobocznego wynosi 18 cm. Oblicz jego pole i wysokość. Bok: 18 / 3 = 6 cm. Wysokość: 6√3 / 2 = 3√3 ≈ 5,2 cm. Pole: 36√3 / 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm². W kalkulatorze wystarczy wybrać „obwód” i wpisać 18.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć pole trójkąta równobocznego?
P = a²√3 / 4. Dla boku 6 cm to ok. 15,59 cm².
Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego?
h = a√3 / 2. Dla boku 6 cm to ok. 5,2 cm.
Jak obliczyć bok, gdy znam wysokość?
a = 2h / √3. Dla wysokości 6 cm bok ma ok. 6,93 cm.
Ile stopni mają kąty w trójkącie równobocznym?
Każdy kąt ma 60°, a ich suma 180°.
Czy trójkąt prostokątny może być równoboczny?
Nie. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma 60°, więc nie ma kąta prostego.
Jaki jest promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny?
r = a√3 / 6, czyli jedna trzecia wysokości. Promień okręgu opisanego jest dwa razy większy.