Trójkąt 30-60-90 — wzory, zależności boków i kalkulator

Trójkąt 30-60-90 to trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60° i 90°. Jego boki zawsze mają stosunek 1 : √3 : 2, więc wystarczy znać jeden bok, żeby policzyć resztę. W kalkulatorze wybierz, który bok znasz.

Zależności boków w trójkącie 30-60-90

• krótsza przyprostokątna a leży naprzeciw kąta 30°,
• dłuższa przyprostokątna b = a√3 leży naprzeciw kąta 60°,
• przeciwprostokątna c = 2a leży naprzeciw kąta prostego.

Najważniejsza do zapamiętania reguła: przyprostokątna naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej.

Wzory: gdy znasz jeden bok

Pole: P = a · b / 2 = a²√3 / 2. Obwód: a + a√3 + 2a = a(3 + √3). Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną: h = a√3 / 2.

Skąd biorą się te zależności

Trójkąt 30-60-90 to połowa trójkąta równobocznego. Gdy w trójkącie równobocznym o boku c poprowadzisz wysokość, podzielisz go na dwa takie trójkąty: przeciwprostokątną jest bok c, krótszą przyprostokątną połowa boku (c/2), a dłuższą wysokość c√3/2.

Tabela: typowe wymiary

Trójkąt 30-60-90 i trójkąt 45-45-90

To dwa „trójkąty z ekierki”, które pojawiają się w zadaniach z geometrii i trygonometrii.

Funkcje trygonometryczne kątów 30° i 60°

Z boków 1, √3 i 2 odczytasz wartości z tablic: sin 30° = cos 60° = 1/2, cos 30° = sin 60° = √3/2, tg 30° = √3/3, tg 60° = √3.

Przykład zadania

Przeciwprostokątna trójkąta 30-60-90 ma 12 cm. Krótsza przyprostokątna to 12 / 2 = 6 cm, dłuższa 6√3 ≈ 10,39 cm, a pole 6 · 6√3 / 2 = 18√3 ≈ 31,18 cm².

Jak rozpoznać trójkąt 30-60-90 w zadaniu

• trójkąt prostokątny ma jeden kąt 30° albo 60°,
• przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od jednej z przyprostokątnych,
• trójkąt powstaje z podziału trójkąta równobocznego wysokością albo z przekątnej prostokąta o bokach 1 i √3.

Najczęstsze błędy

• Pomylenie przyprostokątnych: krótsza leży naprzeciw kąta 30°, nie 60°.
• Mnożenie przez √3 zamiast dzielenia, gdy znasz dłuższą przyprostokątną: wtedy a = b / √3.
• Zaokrąglanie √3 do 1,7 na początku obliczeń. Lepiej zostawić √3 do końca i zaokrąglić dopiero wynik.

Gdzie spotkasz trójkąt 30-60-90

Ma go klasyczna ekierka szkolna (druga to 45-45-90). Pojawia się przy dachach o spadku 30°, rampach i schodach, a w fizyce przy rozkładzie sił na równi pochyłej nachylonej pod kątem 30°.