Kalkulator wielomianu

Kalkulator wielomianu

Kalkulator wielomianu przyjmuje współczynniki od najwyższej potęgi (do stopnia 30) i dla podanego x zwraca f(x), f′(x) oraz f″(x). Dla całej funkcji wyznacza pierwiastki rzeczywiste z krotnością, ekstrema lokalne, całkę nieoznaczoną, rozkład na czynniki i zachowanie na krańcach. Opcjonalnie dodaje, odejmuje, mnoży albo dzieli z resztą dwa wielomiany f(x) i g(x).

Format danych

Wpisz współczynniki od najwyższej potęgi, oddzielone przecinkami lub spacjami: 1, -3, 2 oznacza x² − 3x + 2. Brakującą potęgę uzupełnij zerem. Ułamek dziesiętny zapisz kropką (0.5, -2, 1) albo rozdziel liczby średnikami, wtedy przecinek jest częścią liczby (0,5; -2; 1). W polu x przecinek dziesiętny działa normalnie, np. -1,5.

Limity: najwyżej 31 współczynników (stopień 30), każdy co do modułu do 1 000 000 000, a x do 1 000 000. Zera na początku listy są pomijane, więc 0, 1, 2 to po prostu x + 2. Wielomianu zerowego (same zera) narzędzie nie analizuje.

Co obliczamy

Interpretacja

• f′(x) > 0 — funkcja rosnąca w tym punkcie, f′(x) < 0 — malejąca,
• f″(x) > 0 — wypukła (potencjalne minimum),
• f″(x) < 0 — wklęsła (potencjalne maksimum),
• f(0) to wyraz wolny, czyli punkt przecięcia wykresu z osią Y.

Jak to działa od środka

Wartość f(x) wyznacza schemat Hornera. Zamiast podnosić x do kolejnych potęg, zmienna pomocnicza startuje od współczynnika wiodącego, a każdy krok to pomnożenie jej przez x i dodanie kolejnego współczynnika. Dla stopnia n to dokładnie n mnożeń i n dodawań, a im mniej działań, tym mniejszy błąd zaokrągleń.

Pochodne powstają przez różniczkowanie wyraz po wyrazie: ze składnika a x^n robi się n · a · x do potęgi n−1, a wyraz wolny znika. Pierwiastki stopnia 1 i 2 wynikają ze wzorów. Od stopnia 3 narzędzie najpierw znajduje miejsca zerowe pochodnej (tą samą metodą, rekurencyjnie). Dzielą one oś na przedziały, w których wielomian jest monotoniczny, więc w każdym leży najwyżej jeden pierwiastek. Ten pierwiastek wyznacza bisekcja, a wynik bliski liczbie całkowitej jest podawany dokładnie. Wszystkie pierwiastki mieszczą się w granicy Cauchy’ego: |x| < 1 + max|a_k / a_n|. Ekstremum rozpoznaje zmiana znaku f′: z minusa na plus to minimum, z plusa na minus – maksimum, a brak zmiany oznacza przegięcie z poziomą styczną.

Przykład krok po kroku: x² − 3x + 2

1. Zapis współczynników. Wpisujemy 1, -3, 2, czyli kolejno liczbę przy x², przy x i wyraz wolny. Kalkulator odtwarza z tego f(x) = x² − 3x + 2.
2. Wartość w punkcie. Liczymy f(3) schematem Hornera: startujemy od 1, następnie 1 · 3 − 3 = 0, na końcu 0 · 3 + 2 = 2. Wynik to f(3) = 2.
3. Pierwsza pochodna. Z x² powstaje 2x, z −3x powstaje −3, a wyraz wolny 2 znika. Otrzymujemy f′(x) = 2x − 3, więc f′(3) = 3: funkcja w x = 3 rośnie.
4. Druga pochodna. Z f′(x) = 2x − 3 zostaje sama stała, więc f″(x) = 2. Jest dodatnia dla każdego x, wykres jest wypukły.
5. Pierwiastki. Wyróżnik wynosi 9 − 8 = 1, stąd x = (3 − 1) / 2 = 1 oraz x = (3 + 1) / 2 = 2, oba o krotności 1. Rozkład na czynniki: f(x) = (x − 1)(x − 2).
6. Ekstremum. Zerujemy pochodną: 2x − 3 = 0, czyli x = 1,5. Dla x = 0,5 pochodna wynosi −2, a dla x = 2,5 wynosi 2, więc znak zmienia się z minusa na plus: to minimum lokalne o wartości f(1,5) = 2,25 − 4,5 + 2 = −0,25.
7. Całka i krańce. F(x) = x³/3 − 1,5x² + 2x + C (kalkulator zapisze 1/3 jako 0,333333). Stopień jest parzysty, a współczynnik wiodący dodatni, więc f(x) → +∞ zarówno dla x → −∞, jak i x → +∞.
8. Dzielenie przez g(x) = x + 1. Wybieramy działanie „f(x) : g(x)” i wpisujemy 1, 1. Wynik: iloraz q(x) = x − 4, reszta r(x) = 6. Zgadza się to z twierdzeniem Bézouta: f(−1) = 1 + 3 + 2 = 6.

Co zwraca kalkulator dla poszczególnych stopni i operacji

Praktyczne wskazówki

• Podawaj współczynniki od najwyższej potęgi. Kolejność decyduje o wyniku, bo ciąg 1, -3, 2 opisuje x² − 3x + 2, a nie 2x² − 3x + 1.
• Wpisuj zero dla brakujących potęg. Dla x³ − 4x + 2 lista wygląda tak: 1, 0, -4, 2. Pominięcie zera zmienia stopień, a przez to także pochodne, pierwiastki i ekstrema.
• Uważaj na przecinek w ułamkach. W polu współczynników przecinek rozdziela liczby, więc „1,5, 2” to trzy współczynniki: 1, 5 i 2. Zapisz 1.5, 2 albo 1,5; 2.
• Czytaj kolumnę „Krotność”. Pierwiastek o krotności nieparzystej wykres przecina, o parzystej tylko dotyka osi X. Kafelek z liczbą pierwiastków liczy różne miejsca zerowe, bez powtórzeń.

Czego kalkulator nie uwzględnia

• Brak współczynników symbolicznych. Narzędzie przyjmuje tylko liczby. Wielomianu z parametrem (np. m) nie da się policzyć, bo dla nieznanej wartości nie istnieje konkretny wynik.
• Tylko pierwiastki rzeczywiste. Gdy wielomian nie ma miejsc zerowych na osi liczbowej, wynik nie zawiera rozwiązań zespolonych, a rozkład zostawia nierozkładalny czynnik, np. (x² + 1).
• Zaokrąglenia. Pierwiastki niecałkowite są pokazywane z 6 miejscami po przecinku, punkty ekstremów z 3, a czynniki w rozkładzie z 4 (z adnotacją o przybliżeniu).
• Skrajne dane. Gdy współczynniki różnią się o wiele rzędów wielkości, rachunek może wyjść poza zakres liczb zmiennoprzecinkowych i kalkulator poda, że nie udało się wyznaczyć pierwiastków. Pierwiastki leżące bardzo blisko siebie mogą zostać połączone w jeden.