Kalkulator twierdzenia Pitagorasa — a² + b² = c²
Kalkulator Pitagorasa: podaj dwa boki trójkąta prostokątnego, a obliczymy trzeci bok, obwód i pole.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćTwierdzenie Pitagorasa – historia, znaczenie i dowody geometryczne
Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najważniejszych i najbardziej znanych twierdzeń w geometrii, opisujące relację między bokami trójkąta prostokątnego. Przypisuje się je greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi z Samos (VI wiek p.n.e.), choć dowody historyczne wskazują, że zależność ta była znana znacznie wcześniej Babilończykom, Hindusom i Chińczykom. Twierdzenie głosi, że w dowolnym trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ma ono fundamentalne znaczenie w nawigacji, budownictwie, geodezji oraz grafice komputerowej 3D (do obliczania odległości w przestrzeni).
Nasz internetowy kalkulator twierdzenia Pitagorasa pozwala na szybkie obliczenie dowolnego boku trójkąta prostokątnego. Wystarczy podać długości dwóch boków, aby natychmiast otrzymać trzeci, wraz z rozpisanym wzorem i wynikiem w formie uproszczonego pierwiastka.
Wzór twierdzenia Pitagorasa
Klasyczny zapis twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c wygląda następująco:
a² + b² = c²
W zależności od tego, który bok chcemy obliczyć, przekształcamy wzór do następujących postaci:
- Obliczanie przeciwprostokątnej (c):
c = √(a² + b²) - Obliczanie przyprostokątnej (a):
a = √(c² - b²) - Obliczanie przyprostokątnej (b):
b = √(c² - a²)
Tabela popularnych trójek pitagorejskich
Trójki pitagorejskie to zestawy trzech liczb całkowitych spełniających równanie Pitagorasa. Poniższa tabela przedstawia najpopularniejsze z nich oraz pola powierzchni i obwody powstałych trójkątów prostokątnych:
| Przyprostokątna (a) | Przyprostokątna (b) | Przeciwprostokątna (c) | Obwód trójkąta (a + b + c) | Pole trójkąta (0.5 × a × b) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 12 | 6 |
| 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| 8 | 15 | 17 | 40 | 60 |
| 7 | 24 | 25 | 56 | 84 |
| 20 | 21 | 29 | 70 | 210 |
| 12 | 35 | 37 | 84 | 210 |
Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w budownictwie
Najprostszym i najczęściej stosowanym w budownictwie trikiem opartym na twierdzeniu Pitagorasa jest reguła 3-4-5, służąca do wyznaczania kąta prostego w terenie bez użycia specjalistycznych narzędzi geodezyjnych:
- Murarz odmierza na jednej ścianie odległość 3 metrów od narożnika i robi znak.
- Na drugiej, prostopadłej ścianie odmierza odległość 4 metrów i również robi znak.
- Następnie mierzy odległość po skosie (w linii prostej) między dwoma znakami. Jeśli odległość wynosi dokładnie 5 metrów, oznacza to, że narożnik trzyma idealny kąt 90 stopni. Jeśli odległość jest inna, kąt należy skorygować.
Często zadawane pytania (FAQ)
Jak brzmi wzór na twierdzenie Pitagorasa?
Wzór to a² + b² = c², gdzie „a” i „b” to długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, a „c” to długość przeciwprostokątnej.
Co to są trójki pitagorejskie?
To zestawy trzech liczb całkowitych dodatnich (a, b, c), które spełniają równanie a² + b² = c² (np. 3, 4, 5 lub 5, 12, 13).
Czy twierdzenie Pitagorasa działa w każdym trójkącie?
Nie, twierdzenie to ma zastosowanie wyłącznie do trójkątów prostokątnych (czyli takich, które mają jeden kąt o mierze dokładnie 90 stopni).
Jak sprawdzić, czy trójkąt o bokach 6, 8, 10 jest prostokątny?
Należy podstawić wartości do wzoru: 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Ponieważ 10² = 100, równanie jest prawdziwe, a więc trójkąt o takich bokach jest prostokątny.
Czym są przyprostokątne i przeciwprostokątna?
Przyprostokątne to dwa krótsze boki trójkąta, które stykają się, tworząc kąt prosty. Przeciwprostokątna to najdłuższy bok leżący naprzeciwko kąta prostego.