Pochodne — kalkulator i tablica wzorów
Oblicz pochodną wielomianu krok po kroku i sprawdź pełną tablicę pochodnych (xⁿ, sin, cos, ln, eˣ). Wzór na pochodną z regułą potęgową, iloczynu i ilorazu.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Kalkulator liczy pochodną wielomianu (suma wyrazów a·xⁿ) regułą potęgową. Dla funkcji takich jak sin, ln czy eˣ skorzystaj z tablicy pochodnych poniżej.
Nowa podstawa: matematyka kl. 4–6 · Typowe błędy uczniów · Pytania pogłębiające (DOK) · Wszystkie narzędzia dla nauczycieli
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćPochodna funkcji – podstawowe pojęcie analizy matematycznej
Pochodna funkcji to jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć w matematyce, fizyce oraz naukach inżynieryjnych. Określa ona tempo zmian wartości funkcji w stosunku do zmian jej argumentów. Z geometrycznego punktu widzenia, pochodna funkcji w danym punkcie jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu tej funkcji w tym punkcie – mówi nam, jak stromo wykres "wznosi się" lub "opada". Z kolei w fizyce pochodna ma bezpośrednią interpretację jako prędkość chwilowa (która jest pochodną drogi po czasie) lub przyspieszenie (pochodna prędkości po czasie). Operację obliczania pochodnej nazywamy różniczkowaniem.
Nasz serwis oferuje kompletne zestawienie wzorów na pochodne funkcji elementarnych oraz najważniejsze reguły różniczkowania (pochodne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu), ułatwiając naukę matematyki wyższej.
Podstawowe reguły różniczkowania funkcji
Różniczkowanie skomplikowanych funkcji opiera się na kilku żelaznych regułach matematycznych:
- Pochodna sumy i różnicy:
(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) - Pochodna iloczynu:
(f(x) × g(x))' = f'(x) × g(x) + f(x) × g'(x) - Pochodna ilorazu:
(f(x) / g(x))' = (f'(x) × g(x) - f(x) × g'(x)) / (g(x))² - Pochodna funkcji złożonej: pochodna funkcji zewnętrznej pomnożona przez pochodną funkcji wewnętrznej.
Tablica wzorów: pochodne funkcji elementarnych
Poniższa tabela przedstawia zestawienie wzorów na pochodne najczęściej spotykanych funkcji matematycznych:
| Nazwa funkcji | Wzór funkcji f(x) | Wzór pochodnej f'(x) | Dziedzina i uwagi |
|---|---|---|---|
| Funkcja stała | c (stała) | 0 | Pochodna stałej liczby zawsze wynosi zero. |
| Funkcja liniowa (x) | x | 1 | Współczynnik kierunkowy wynosi 1. |
| Funkcja potęgowa | xn | n × xn-1 | Podstawowy wzór stosowany w wielomianach. |
| Funkcja wykładnicza (e) | ex | ex | Funkcja ex jest swoją własną pochodną. |
| Funkcja wykładnicza (a) | ax | ax × ln(a) | Dla a > 0. |
| Logarytm naturalny | ln(x) | 1 / x | Dla x > 0. |
| Funkcja sinus | sin(x) | cos(x) | Kąt podany w radianach. |
| Funkcja kosinus | cos(x) | -sin(x) | Kąt podany w radianach. |
Jak działa kalkulator pochodnych
Kalkulator nie szacuje wyniku metodą przybliżoną, polegającą na podstawieniu dwóch blisko siebie leżących argumentów i policzeniu ilorazu różnicowego. Działa symbolicznie: najpierw rozbija wpisane wyrażenie na drzewo składniowe, a potem przekształca je według reguł różniczkowania - dokładnie tak, jak robi się to ręcznie na kartce. Każdy węzeł tego drzewa odpowiada jednemu działaniu: liczbie, zmiennej, sumie, różnicy, iloczynowi, ilorazowi, potędze albo wywołaniu funkcji. Dzięki temu program wie, z jakim typem wyrażenia ma do czynienia w danym fragmencie, i stosuje właściwą regułę tylko do niego, nie zmieniając pozostałej części wzoru.
Sam mechanizm jest rekurencyjny. Dla sumy pochodna równa się sumie pochodnych, dla stałego mnożnika współczynnik wychodzi przed znak pochodnej, a przy funkcji złożonej program schodzi najpierw do funkcji wewnętrznej i mnoży jej pochodną przez pochodną funkcji zewnętrznej. Dla potęgi stosowany jest wzór n razy x do potęgi n-1, ten sam, który obowiązuje w wielomianach dowolnego stopnia. Pochodna budowana jest więc od najprostszych elementów w górę drzewa, aż do pełnego wyrażenia.
Ostatni etap to uproszczenie: redukcja wyrazów podobnych, usunięcie mnożenia przez jeden i dodawania zera oraz uporządkowanie zapisu, żeby wynik dało się przeczytać. Trzeba pamiętać, że pochodna symboliczna zwraca wzór obowiązujący w całym przedziale, a nie jedną liczbę. Jeśli potrzebujesz wartości w konkretnym punkcie, podstawiasz argument do otrzymanego wzoru - i ten wynik jest już zwykłym rachunkiem arytmetycznym.
Przykład krok po kroku: pochodna wielomianu
- Wpisujemy wyrażenie: 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7.
- Kalkulator rozbija je na drzewo składniowe: cztery składniki połączone dodawaniem i odejmowaniem, każdy z własnym współczynnikiem i potęgą.
- Do pierwszego składnika stosuje stały mnożnik i regułę potęgową: (3x^4)' = 3 * 4x^3 = 12x^3.
- Analogicznie dla drugiego składnika: (-2x^3)' = -2 * 3x^2 = -6x^2.
- Składnik liniowy daje (5x)' = 5, a pochodna wyrazu wolnego wynosi (-7)' = 0, bo pochodna stałej jest równa zero.
- Złożenie wyników przez regułę sumy i różnicy daje f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5. Kontrola dla x = 1: 12 - 6 + 5 = 11.
Tabela: co kalkulator robi z konkretnym wyrażeniem
| Wyrażenie wejściowe | Zastosowana reguła | Wynik pochodnej |
|---|---|---|
| 7 | Funkcja stała | 0 |
| x | Funkcja liniowa | 1 |
| x^5 | Reguła potęgowa | 5x^4 |
| 3x^4 | Stały mnożnik i reguła potęgowa | 12x^3 |
| 2x^3 + 5x | Suma pochodnych | 6x^2 + 5 |
| e^x | Funkcja wykładnicza | e^x |
| x^2 * e^x | Pochodna iloczynu | 2x * e^x + x^2 * e^x |
| (x^3 + 1)^2 | Pochodna funkcji złożonej | 6x^2 * (x^3 + 1) |
Praktyczne wskazówki korzystania z kalkulatora
- Pisz potęgi jednoznacznie - jako x^n, a nie jako indeks górny. Dla wykładnika będącego wyrażeniem użyj nawiasu, na przykład x^(n+1), inaczej program odczyta to inaczej, niż zamierzałeś.
- Nawiasy ustawiają kolejność działań - kalkulator trzyma się standardowych priorytetów, więc mnożenie i dzielenie wykonuje przed dodawaniem. Złożone liczniki i mianowniki zawsze obejmuj nawiasem.
- Zamień ułamki piętrowe na dzielenie - zapis typu (2x + 1)/(x - 3) jest czytelny dla parsera, a wielopiętrowa kreska ułamkowa nie.
- Sprawdź dziedzinę pochodnej - pochodna może istnieć tylko tam, gdzie istnieje sama funkcja. Punkty zerowania mianownika i miejsca, w których wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, wypadają z dziedziny niezależnie od tego, co pokaże obliczenie.
- Weryfikuj wynik liczbowo - dla wielomianu podstaw do otrzymanej pochodnej kilka prostych argumentów i porównaj z ręcznym rachunkiem. To najszybszy sposób wyłapania błędu w zapisie wejściowym.
Czego kalkulator nie uwzględnia
- Postać wyniku bywa nieuporządkowana - poprawność matematyczna nie zawsze idzie w parze z estetyką zapisu. Wynik może wymagać ręcznego wyciągnięcia wspólnego czynnika albo skrócenia ułamka.
- Brak analizy nieróżniczkowalności - kalkulator podaje wzór, ale nie sprawdza, czy funkcja ma w danym punkcie ostrze, załamanie albo styczną pionową. Ten punkt trzeba ocenić samodzielnie.
- Uproszczenia mogą ukryć założenia - automatyczne skracanie wyrażeń gubi czasem informację o tym, gdzie pierwotne wyrażenie było określone, a gdzie nie.
- Błędny zapis wejściowy daje błędny wynik - brakujący nawias, niejawne mnożenie zapisane bez operatora albo znak minus w złym miejscu zmieniają całe wyrażenie, a kalkulator nie zawsze to wychwyci.
Często zadawane pytania (FAQ)
Co to jest pochodna funkcji?
To miara tempa zmian wartości funkcji przy zmianie jej argumentów. Geometrycznie odpowiada współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.
Jak brzmi wzór na pochodną funkcji potęgowej?
Wzór to (xn)' = n × xn-1 (np. pochodna z x³ wynosi 3x²).
Jak obliczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji?
Stosuje się wzór: (u × v)' = u' × v + u × v'. Oznacza to, że mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą funkcję bez zmian, a następnie dodajemy do tego pierwszą funkcję bez zmian pomnożoną przez pochodną drugiej.
Co to jest druga pochodna i do czego służy?
Druga pochodna to pochodna z pochodnej danej funkcji. W matematyce służy do badania wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji oraz do znajdowania punktów przegięcia wykresu.
Czy każda funkcja ma pochodną?
Nie. Aby funkcja miała pochodną w danym punkcie, musi być w tym punkcie ciągła i nie może mieć "ostrych zakrętów" (wykres musi być gładki). Przykładem funkcji ciągłej, która nie ma pochodnej w punkcie x = 0, jest funkcja wartości bezwzględnej f(x) = |x|.
Jak obliczyć pochodną x do potęgi n?
Stosuje się regułę potęgową: wykładnik schodzi jako stały mnożnik przed wyrażenie, a sam wykładnik zmniejsza się o jeden. Dla x^5 daje to 5x^4, a dla dowolnego n wynik ma postać n razy x do potęgi n-1.
Na czym polega pochodna funkcji złożonej?
Liczy się ją jako iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej, wziętej w punkcie funkcji wewnętrznej, oraz pochodnej funkcji wewnętrznej. W praktyce oznacza to różniczkowanie od zewnątrz do środka, z mnożeniem kolejnych pochodnych.
Czy pochodna liczby stałej zawsze wynosi zero?
Tak. Wykres funkcji stałej jest poziomą linią, więc jego nachylenie w każdym punkcie jest równe zero. Każdy składnik bez zmiennej znika przy różniczkowaniu.
Jak policzyć pochodną iloczynu dwóch funkcji?
Nie wystarczy pomnożyć pochodnych. Obowiązuje wzór: pochodna pierwszej funkcji razy druga funkcja plus pierwsza funkcja razy pochodna drugiej. Dopiero suma tych dwóch iloczynów jest poprawnym wynikiem.
Kiedy pochodna funkcji nie istnieje?
Najczęściej w punktach, w których wykres ma ostrze lub załamanie, w miejscach nieciągłości oraz tam, gdzie styczna byłaby pionowa. Z dziedziny pochodnej wypadają też punkty nienależące do dziedziny samej funkcji.