Pochodne — kalkulator i tablica wzorów
Oblicz pochodną wielomianu krok po kroku i sprawdź pełną tablicę pochodnych (xⁿ, sin, cos, ln, eˣ). Wzór na pochodną z regułą potęgową, iloczynu i ilorazu.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Kalkulator liczy pochodną wielomianu (suma wyrazów a·xⁿ) regułą potęgową. Dla funkcji takich jak sin, ln czy eˣ skorzystaj z tablicy pochodnych poniżej.
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćPochodna funkcji – podstawowe pojęcie analizy matematycznej
Pochodna funkcji to jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć w matematyce, fizyce oraz naukach inżynieryjnych. Określa ona tempo zmian wartości funkcji w stosunku do zmian jej argumentów. Z geometrycznego punktu widzenia, pochodna funkcji w danym punkcie jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu tej funkcji w tym punkcie – mówi nam, jak stromo wykres "wznosi się" lub "opada". Z kolei w fizyce pochodna ma bezpośrednią interpretację jako prędkość chwilowa (która jest pochodną drogi po czasie) lub przyspieszenie (pochodna prędkości po czasie). Operację obliczania pochodnej nazywamy różniczkowaniem.
Nasz serwis oferuje kompletne zestawienie wzorów na pochodne funkcji elementarnych oraz najważniejsze reguły różniczkowania (pochodne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu), ułatwiając naukę matematyki wyższej.
Podstawowe reguły różniczkowania funkcji
Różniczkowanie skomplikowanych funkcji opiera się na kilku żelaznych regułach matematycznych:
- Pochodna sumy i różnicy:
(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) - Pochodna iloczynu:
(f(x) × g(x))' = f'(x) × g(x) + f(x) × g'(x) - Pochodna ilorazu:
(f(x) / g(x))' = (f'(x) × g(x) - f(x) × g'(x)) / (g(x))² - Pochodna funkcji złożonej: pochodna funkcji zewnętrznej pomnożona przez pochodną funkcji wewnętrznej.
Tablica wzorów: pochodne funkcji elementarnych
Poniższa tabela przedstawia zestawienie wzorów na pochodne najczęściej spotykanych funkcji matematycznych:
| Nazwa funkcji | Wzór funkcji f(x) | Wzór pochodnej f'(x) | Dziedzina i uwagi |
|---|---|---|---|
| Funkcja stała | c (stała) | 0 | Pochodna stałej liczby zawsze wynosi zero. |
| Funkcja liniowa (x) | x | 1 | Współczynnik kierunkowy wynosi 1. |
| Funkcja potęgowa | xn | n × xn-1 | Podstawowy wzór stosowany w wielomianach. |
| Funkcja wykładnicza (e) | ex | ex | Funkcja ex jest swoją własną pochodną. |
| Funkcja wykładnicza (a) | ax | ax × ln(a) | Dla a > 0. |
| Logarytm naturalny | ln(x) | 1 / x | Dla x > 0. |
| Funkcja sinus | sin(x) | cos(x) | Kąt podany w radianach. |
| Funkcja kosinus | cos(x) | -sin(x) | Kąt podany w radianach. |
Często zadawane pytania (FAQ)
Co to jest pochodna funkcji?
To miara tempa zmian wartości funkcji przy zmianie jej argumentów. Geometrycznie odpowiada współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.
Jak brzmi wzór na pochodną funkcji potęgowej?
Wzór to (xn)' = n × xn-1 (np. pochodna z x³ wynosi 3x²).
Jak obliczyć pochodną iloczynu dwóch funkcji?
Stosuje się wzór: (u × v)' = u' × v + u × v'. Oznacza to, że mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą funkcję bez zmian, a następnie dodajemy do tego pierwszą funkcję bez zmian pomnożoną przez pochodną drugiej.
Co to jest druga pochodna i do czego służy?
Druga pochodna to pochodna z pochodnej danej funkcji. W matematyce służy do badania wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji oraz do znajdowania punktów przegięcia wykresu.
Czy każda funkcja ma pochodną?
Nie. Aby funkcja miała pochodną w danym punkcie, musi być w tym punkcie ciągła i nie może mieć "ostrych zakrętów" (wykres musi być gładki). Przykładem funkcji ciągłej, która nie ma pochodnej w punkcie x = 0, jest funkcja wartości bezwzględnej f(x) = |x|.