DARMOWE NARZĘDZIE

Kalkulator prawdopodobieństwa rzutu monetą

Policz prawdopodobieństwo wyników rzutów monetą (lub dowolnego zdarzenia Bernoulliego). Tryby: przynajmniej jeden orzeł, dokładnie k sukcesów, co najmniej k (≥k), maksymalnie k (≤k). Dodatkowo: odds, wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe. Profesjonalne narzędzie online, które działa w Twojej przeglądarce. Szybko, bezpiecznie i bez instalowania zbędnego oprogramowania.

Bezpieczne (SSL)

Przetwarzanie Lokalne

100% Darmowe

Przejdź do narzędzia

Instrukcja

1

Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku.
2

Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce.
3

Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.

                                                function runTool() {

                                                  return "Wynik gotowy w 0.1s";

                                                }

Analiza Prawdopodobieństwa Monety

Matematyczny model rozkładu dwumianowego dla serii rzutów monetą lub zdarzeń tak/nie.

Parametry doświadczenia

Liczba rzutów (n)

Prawd. sukcesu (p)

Cel obliczeń

Liczba sukcesów (k)

Miejsca po przecinku

🎲

Czekam na dane

Wprowadź liczbę rzutów i określ swój cel, aby wyliczyć dokładne szanse statystyczne.

Powiązane narzędzia

Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać

prawdopodobieństwo rzuty monetą rozkład dwumianowy Bernoulli odds wartość oczekiwana

Kalkulator prawdopodobieństwa rzutów monetą (rozkład dwumianowy)

Ten addon liczy dokładne prawdopodobieństwa dla serii rzutów monetą (lub dowolnego zdarzenia typu „sukces/porażka”), korzystając z rozkładu dwumianowego. Ustaw liczbę prób n, prawdopodobieństwo sukcesu p (np. orła) oraz tryb: przynajmniej jeden sukces, dokładnie k, co najmniej k albo maksymalnie k. Oprócz samego P dostajesz też „premium” metryki: odds (kurs), wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe i wskazanie najbardziej prawdopodobnego wyniku.

Uwaga: Model dwumianowy zakłada, że każda próba jest niezależna i ma stałe p. Dla prawdziwej monety to zwykle bardzo dobre przybliżenie, ale w realnych procesach (np. awarie urządzeń, kliknięcia, testy A/B) niezależność bywa naruszona. Wtedy wynik kalkulatora traktuj jako punkt odniesienia, a nie absolutną prawdę.

Co ten kalkulator potrafi policzyć?

1+ sukces

Przynajmniej jeden orzeł w n rzutach. To najszybsza odpowiedź na pytanie: „Jaka jest szansa, że choć raz się uda?”

Dokładnie k

Dokładnie k sukcesów (np. dokładnie 5 orłów na 10 rzutów). Idealne do zadań z kombinatoryki i statystyki.

≥ k

Co najmniej k sukcesów. Typowe pytanie: „Jakie są szanse, że wypadnie 7 lub więcej orłów?”

≤ k

Maksymalnie k sukcesów. Np. „Jaka jest szansa, że w 10 próbach będzie najwyżej 2 sukcesy?”

Odds

Kurs w formie 1 : X, czyli ile „porażek” przypada na jeden sukces w ujęciu szans.

Analiza

Wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie oraz najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów.

Jak używać narzędzia krok po kroku?

Ustaw n – liczbę prób (rzutów). Zakres do 500 zapewnia wygodę i stabilność obliczeń.
Ustaw p – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie. Dla uczciwej monety to zwykle 0,5, ale możesz wpisać inną wartość (np. moneta „ważona” albo proces, w którym sukces zdarza się częściej/ rzadziej).
Wybierz tryb obliczeń:
- Przynajmniej jeden orzeł – najszybszy wariant, nie wymaga k.
- Dokładnie k – policzy P(X = k).
- Co najmniej k – policzy P(X ≥ k).
- Maksymalnie k – policzy P(X ≤ k).
Jeśli wybrałeś/aś tryb z k, podaj k – liczbę sukcesów, o którą pytasz.
Ustaw precyzję (miejsca po przecinku) i kliknij OBLICZ SZANSE.

Co oznaczają wyniki?

Prawdopodobieństwo P

To liczba z zakresu 0–1. Dla czytelności narzędzie pokazuje też wynik w procentach. Przykład: P = 0,2461 oznacza około 24,61%.

Szansa przeciwna (1 − P)

W wielu zadaniach wygodniej myśleć „jakie są szanse, że to się nie wydarzy”. Ten wynik przydaje się też do oceny ryzyka.

Odds (kurs) 1 : X

Kurs „1 : X” czytaj jako: na 1 „trafienie” przypada średnio X „pudeł”. Im mniejsze X, tym zdarzenie bardziej prawdopodobne. Dla P bliskiego 0 albo 1 kurs przechodzi w „Niemożliwe / Pewne”.

Etykieta rzadkości

Kalkulator klasyfikuje wynik (np. „mało prawdopodobne”, „bardzo prawdopodobne”), żebyś szybciej wyciągnął/a wniosek. To pomocnicze – w analizie technicznej zawsze patrz na konkretną wartość P.

Krótka teoria: rozkład dwumianowy bez straszenia wzorami

Jeżeli wykonujesz n niezależnych prób, a sukces w pojedynczej próbie ma prawdopodobieństwo p, to liczba sukcesów X ma rozkład dwumianowy. Intuicyjnie:

p opisuje „jak łatwo o sukces w jednej próbie”.
n mówi „ile razy próbujesz”.
X to „ile sukcesów łącznie wypadło”.

Jeśli lubisz wzory: dla trybu „dokładnie k” kalkulator liczy klasyczne P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^n−k. Dla „≥k” i „≤k” sumuje odpowiednie wartości P(X = i). Dla „przynajmniej jeden” korzysta z dopełnienia: 1 − (1−p)ⁿ.

Przykłady, które możesz sprawdzić w 10 sekund

Ustawienia	Tryb	Wynik	Jak to czytać?
n = 10, p = 0,5	Przynajmniej 1 orzeł	P = 0,9990234375 (≈ 99,90%)	Prawie pewne – jedyny „zły” przypadek to 10 reszek z rzędu (1/1024).
n = 10, p = 0,5, k = 5	Dokładnie k	P = 0,24609375 (≈ 24,61%)	Najbardziej typowy wynik przy uczciwej monecie – 5 orłów na 10 rzutów zdarza się najczęściej.
n = 10, p = 0,5, k = 7	Co najmniej k (≥k)	P = 0,171875 (≈ 17,19%)	7+ orłów to już „lepszy” niż przeciętny wynik, ale nadal możliwy co kilka prób.
n = 10, p = 0,5, k = 3	Maksymalnie k (≤k)	P = 0,171875 (≈ 17,19%)	Symetria przy p=0,5: ≤3 orły ma takie samo P jak ≥7 orłów.

Metryki Premium: jak wykorzystać je praktycznie?

Wartość oczekiwana (E[X])

To „średnia liczba sukcesów”, jakiej spodziewasz się w długim okresie. Dla rozkładu dwumianowego: E[X] = n · p. Jeśli masz n=20 i p=0,3, to średnio będzie około 6 sukcesów. To nie „gwarancja”, tylko punkt centralny rozkładu.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja: Var(X) = n · p · (1−p), a odchylenie to jej pierwiastek. W praktyce odchylenie mówi, jak szeroko rozrzucają się wyniki wokół wartości oczekiwanej. Duże odchylenie = większa „losowość” efektu.

Najczęstszy wynik (mode)

Kalkulator podaje najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów. To dobra odpowiedź na pytanie: „Jaki wynik jest najbardziej typowy?” – szczególnie w grach, symulacjach i analizie scenariuszy.

Szansa przeciwna (dopełnienie)

W ocenie ryzyka często kluczowe jest nie „czy się uda”, ale „czy się nie uda”. Jeśli P jest duże, dopełnienie pokazuje realne prawdopodobieństwo porażki – czasem zaskakująco niezerowe.

Do czego to się przydaje poza monetą?

Kontrola jakości: ile wadliwych sztuk może pojawić się w partii przy znanym odsetku wad?
Marketing / e-commerce: prawdopodobieństwo określonej liczby konwersji w n wejściach (przy stałym p).
IT / niezawodność: szansa, że w serii n zdarzeń wystąpi przynajmniej jedna awaria.
Edukacja: zadania z kombinatoryki i statystyki (dwumian Newtona, rozkład Bernoulliego).
Gry: „drop rate” i prawdopodobieństwo zdobycia przedmiotu co najmniej raz w n próbach.

FAQ

Czy „przynajmniej jeden orzeł” zawsze liczy się jako 1 − (1−p)^n?

Tak, to najprostszy sposób: zamiast sumować wszystkie przypadki z ≥1 sukcesem, liczysz dopełnienie zdarzenia „zero sukcesów”, czyli (1−p)^n, i odejmujesz od 1. To zwykle też najbardziej stabilne numerycznie.

Co jeśli k jest większe niż n?

Matematycznie P(X = k) = 0 dla k > n. W praktyce kalkulator ogranicza k do sensownego zakresu, bo nie da się uzyskać większej liczby sukcesów niż liczba prób.

Dlaczego wynik „dokładnie k” może być mniejszy niż „≥k”?

Bo „dokładnie k” to jeden konkretny przypadek, a „≥k” obejmuje wszystkie przypadki: k, k+1, …, n. Z definicji P(X ≥ k) jest sumą wielu składowych, więc zwykle jest większe lub równe P(X = k).

Czy mogę wpisać p inne niż 0,5?

Jak najbardziej. To wręcz zachęcane, jeśli modelujesz sytuację inną niż uczciwa moneta: prawdopodobieństwo trafienia, skuteczność kampanii, częstość błędu, szansa „dropu” itp. Pamiętaj tylko, że p powinno być stałe dla każdej próby, żeby model był zgodny z założeniami.

Podsumowanie

Ten kalkulator daje Ci dokładną matematykę dla scenariuszy typu „n prób, p sukcesu”. Wybierasz tryb (1+ sukces, dokładnie k, ≥k, ≤k), ustawiasz precyzję i od razu widzisz wynik w postaci: P, procentu, kursu (odds) oraz uzupełniających statystyk, które pomagają zrozumieć, czy zdarzenie jest typowe, rzadkie czy niemal pewne. Jeśli pracujesz z procesami losowymi, to jeden z najbardziej uniwersalnych kalkulatorów, jakie warto mieć pod ręką.

Przejdź do kalkulatora prawdopodobieństwa monety