Funkcja kwadratowa — kalkulator

Wpisz wzór w dowolnej postaci: policzymy deltę, miejsca zerowe, wierzchołek, postać kanoniczną i iloczynową, zbiór wartości i monotoniczność — z wykresem i krokami.

Bez konta

Bez instalacji

Bezpłatnie

Przejdź do narzędzia

Instrukcja

1

Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku.
2

Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce.
3

Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.

                                                function runTool() {

                                                  return "Wynik gotowy w 0.1s";

                                                }

Wzór funkcji — w dowolnej postaci

f(x) =

Np. x^2 - 2x - 3, 2(x - 1)^2 + 3, (x - 1)(x + 3). Potęga: ^ albo ², ułamki: 1/2 lub 0,5.

Oceń to narzędzie:

Powiązane narzędzia

Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać

Podaj dalej

Komuś też się przyda?

Wyślij znajomemu link. Otworzy narzędzie od razu, bez konta i bez opłat.

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0. Kalkulator powyżej przyjmuje wzór w dowolnej postaci — ogólnej, kanonicznej albo iloczynowej — i podaje wszystko, czego wymaga zadanie: deltę, miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka, postać kanoniczną i iloczynową, zbiór wartości, przedziały monotoniczności i znak funkcji. Wyniki są dokładne, na ułamkach i pierwiastkach, np. x₁ = (2 − √10)/2, a nie tylko ≈ −0,58.

Funkcja kwadratowa — najważniejsze wzory

Wzory funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c
Co liczysz	Wzór
Delta (wyróżnik)	Δ = b² − 4ac
Miejsca zerowe (Δ > 0)	x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a
Miejsce zerowe podwójne (Δ = 0)	x₀ = −b / 2a
Wierzchołek paraboli W = (p; q)	p = −b / 2a, q = −Δ / 4a
Postać ogólna	f(x) = ax² + bx + c
Postać kanoniczna	f(x) = a(x − p)² + q
Postać iloczynowa (Δ > 0)	f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Postać iloczynowa (Δ = 0)	f(x) = a(x − x₀)²
Wzory Viète’a	x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a
Oś symetrii paraboli	x = p
Przecięcie z osią OY	(0; c)

Wartość q można też policzyć, podstawiając p do wzoru funkcji: q = f(p). To przydaje się, gdy delta wychodzi duża i łatwo pomylić się w ułamku −Δ/4a.

Przykład krok po kroku: f(x) = x² − 2x − 3

Współczynniki: a = 1, b = −2, c = −3.
Delta: Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16, √Δ = 4.
Miejsca zerowe: x₁ = (2 − 4)/2 = −1, x₂ = (2 + 4)/2 = 3.
Wierzchołek: p = 2/2 = 1, q = −16/4 = −4, czyli W = (1; −4).
Postać kanoniczna: f(x) = (x − 1)² − 4, postać iloczynowa: f(x) = (x + 1)(x − 3).
a = 1 > 0, więc ramiona paraboli idą do góry: zbiór wartości to ⟨−4; +∞), funkcja maleje w (−∞; 1⟩ i rośnie w ⟨1; +∞).
Znak: f(x) > 0 dla x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞), f(x) < 0 dla x ∈ (−1; 3). Przecięcie z osią OY: (0; −3).

Dokładnie takie wyniki pokazuje kalkulator po wpisaniu x^2 − 2x − 3. Inny przykład: dla f(x) = 2x² − 4x − 3 delta wynosi 40, a miejsca zerowe są niewymierne: x₁ = (2 − √10)/2 ≈ −0,58 i x₂ = (2 + √10)/2 ≈ 2,58. Dla f(x) = 3x² − x − 2 wierzchołek ma współrzędne ułamkowe: W = (1/6; −25/12).

Delta a liczba miejsc zerowych

Znak delty
Delta	Miejsca zerowe	Parabola a oś X	Postać iloczynowa
Δ > 0	dwa: x₁ i x₂	przecina oś X w dwóch punktach	a(x − x₁)(x − x₂)
Δ = 0	jedno (podwójne) x₀	dotyka osi X wierzchołkiem	a(x − x₀)²
Δ < 0	brak	leży w całości nad albo pod osią X	nie istnieje

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna f(x) = a(x − p)² + q od razu pokazuje wierzchołek paraboli W = (p; q). Aby ją wyznaczyć, liczysz p = −b/2a i q = −Δ/4a, a współczynnik a zostaje ten sam. Uwaga na znak: w nawiasie jest x minus p, więc dla p = −2 piszemy (x + 2)². Kalkulator działa też w drugą stronę — wpisz np. 2(x − 1)^2 + 3, a dostaniesz postać ogólną 2x² − 4x + 5, deltę (−24) i informację, że funkcja nie ma miejsc zerowych.

Postać iloczynowa

Postać iloczynowa f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0. Z niej najszybciej odczytasz miejsca zerowe i rozwiążesz nierówność kwadratową. Gdy znasz postać iloczynową, np. (x − 1)(x + 3), wpisz ją do kalkulatora — wyliczy postać ogólną x² + 2x − 3 i kanoniczną (x + 1)² − 4.

Wierzchołek paraboli — wzór i znaczenie

Wierzchołek W = (p; q) to punkt, w którym funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą (gdy a > 0) albo największą (gdy a < 0). Dlatego wierzchołek wyznacza zbiór wartości funkcji: ⟨q; +∞) dla a > 0 i (−∞; q⟩ dla a < 0. Przez wierzchołek przechodzi oś symetrii paraboli x = p, a pierwsza współrzędna p jest dokładnie w połowie między miejscami zerowymi: p = (x₁ + x₂)/2. To właśnie wierzchołek wykorzystuje się w zadaniach optymalizacyjnych — np. przy szukaniu największego pola prostokąta o danym obwodzie.

Monotoniczność i zbiór wartości

Własności zależne od znaku a
	a > 0 (ramiona do góry)	a < 0 (ramiona w dół)
Funkcja maleje	(−∞; p⟩	⟨p; +∞)
Funkcja rośnie	⟨p; +∞)	(−∞; p⟩
Zbiór wartości	⟨q; +∞)	(−∞; q⟩
Ekstremum w wierzchołku	minimum równe q	maksimum równe q

Dziedziną każdej funkcji kwadratowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ℝ. Wykres możesz zobaczyć od razu pod wynikami albo przejść do wykresu funkcji online, który narysuje kilka funkcji naraz. Gdy w zadaniu trzeba wskazać, dla jakich x funkcja jest dodatnia lub ujemna, skorzystaj z kalkulatora nierówności kwadratowych.

Jak wpisać wzór

Potęgę wpisz jako x^2 albo x², znak mnożenia możesz pominąć: 2x^2 - 4x + 1.
Ułamki: 1/2x^2 kalkulator czyta jako (1/2)·x²; możesz też pisać 0,5x^2. Wyniki podaje jako ułamki zwykłe, np. 5/4.
Możesz też wpisać współczynniki a, b, c w osobnych polach — wzór uzupełni się sam.
Jeśli wpiszesz funkcję, która nie jest kwadratowa (np. z x³ albo 1/x), kalkulator wyjaśni, dlaczego nie może jej policzyć.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

Ze wzorów p = −b/2a i q = −Δ/4a, gdzie Δ = b² − 4ac. Wierzchołek ma współrzędne W = (p; q). Drugą współrzędną możesz też policzyć jako q = f(p).

Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?

Policz p = −b/2a i q = −Δ/4a i wstaw do wzoru f(x) = a(x − p)² + q. Na przykład x² − 2x − 3 ma p = 1 i q = −4, więc postać kanoniczna to (x − 1)² − 4.

Kiedy funkcja kwadratowa ma postać iloczynową?

Tylko gdy Δ ≥ 0. Dla Δ > 0 jest to a(x − x₁)(x − x₂), dla Δ = 0 — a(x − x₀)². Gdy Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych i postać iloczynowa nie istnieje.

Jaki jest zbiór wartości funkcji kwadratowej?

Dla a > 0 jest to przedział ⟨q; +∞), dla a < 0 — przedział (−∞; q⟩, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka.

Kiedy funkcja kwadratowa jest rosnąca?

Dla a > 0 rośnie w przedziale ⟨p; +∞), a dla a < 0 w przedziale (−∞; p⟩, gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka.

Czy kalkulator podaje wynik z pierwiastkiem?

Tak. Gdy delta nie jest kwadratem liczby wymiernej, miejsca zerowe są podane dokładnie, np. (2 − √10)/2, a obok jako przybliżenie dziesiętne.

Co oznacza współczynnik a w funkcji kwadratowej?

Znak a decyduje o kierunku ramion paraboli (a > 0 — do góry, a < 0 — w dół), a wartość bezwzględna o tym, jak „wąska” jest parabola. Gdy a = 0, funkcja przestaje być kwadratowa i staje się liniowa.