Schemat Hornera — kalkulator

Schemat Hornera to najszybszy sposób dzielenia wielomianu przez dwumian x − a. Kalkulator powyżej rysuje tabelkę Hornera z każdym mnożeniem i dodawaniem, podaje iloraz i resztę, sprawdza twierdzenie Bézouta, a przy dzielniku wyższego stopnia (np. x² + 1) dzieli wielomiany pisemnie, pod kreską. Dodatkowo szuka pierwiastków wymiernych i rozkłada wielomian na czynniki. Wszystkie wyniki są dokładne, na ułamkach zwykłych.

Jak działa schemat Hornera

Żeby podzielić W(x) przez x − a:

1. W górnym wierszu wypisz współczynniki W(x) od najwyższej potęgi. Brakujące potęgi zapisz jako 0 — to najczęstszy błąd.
2. Po lewej stronie, przy dolnym wierszu, wpisz liczbę a (dla dzielnika x − 2 to 2, dla x + 3 to −3).
3. Pierwszy współczynnik przepisz do dolnego wiersza bez zmian.
4. Każdą kolejną liczbę dolnego wiersza licz tak: a · (poprzednia liczba z dołu) + (współczynnik z góry).
5. Liczby w dolnym wierszu, oprócz ostatniej, to współczynniki ilorazu (o stopień niższego), a ostatnia liczba to reszta.

Przykład: (2x³ − 3x² + 4x − 5) : (x − 2)

Dolny wiersz to 2, 1, 6 i 7, więc iloraz to Q(x) = 2x² + x + 6, a reszta R = 7. Wynik zapisujemy jako 2x³ − 3x² + 4x − 5 = (x − 2)(2x² + x + 6) + 7. Zgodnie z twierdzeniem Bézouta W(2) = 7 — tyle samo, ile reszta.

Twierdzenie Bézouta i pierwiastki wielomianu

Twierdzenie Bézouta: reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x − a jest równa W(a). Wynika z tego, że a jest pierwiastkiem W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się przez x − a bez reszty. Dlatego schemat Hornera służy też do sprawdzania pierwiastków: dla W(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 i a = 1 dolny wiersz to 1, −5, 6, 0 — reszta 0, więc 1 jest pierwiastkiem, a W(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6).

Pierwiastki wymierne i rozkład na czynniki

Jeśli wielomian ma współczynniki całkowite, jego pierwiastki wymierne mają postać p/q, gdzie p dzieli wyraz wolny, a q dzieli współczynnik przy najwyższej potędze. Kalkulator sprawdza wszystkich takich kandydatów schematem Hornera, dzieli wielomian przez znalezione czynniki (także wielokrotnie, gdy pierwiastek jest podwójny) i podaje rozkład:

Gdy zostaje czynnik kwadratowy bez pierwiastków wymiernych (np. x² + 1 albo x² − 2), kalkulator podaje jego deltę: przy Δ < 0 czynnik nie rozkłada się dalej, a przy dodatniej delcie pierwiastki są niewymierne — policzysz je w kalkulatorze funkcji kwadratowej.

Dzielenie przez ax + b (np. 2x − 1)

Schemat Hornera działa dla dzielnika postaci x − a. Gdy dzielnik ma współczynnik przy x różny od 1, np. 2x − 1 = 2(x − 1/2), liczymy schemat dla a = 1/2, a otrzymany iloraz dzielimy jeszcze przez 2. Reszta się nie zmienia. Przykład: (6x³ + x² − 4) : (2x − 1) daje iloraz 3x² + 2x + 1 i resztę −3.

Dzielenie pisemne wielomianów (pod kreską)

Przez wielomian stopnia 2 lub wyższego dzielimy pisemnie, podobnie jak liczby w słupku:

1. Podziel najwyższy wyraz dzielnej przez najwyższy wyraz dzielnika — to pierwszy wyraz ilorazu.
2. Pomnóż ten wyraz przez cały dzielnik i odejmij wynik od dzielnej.
3. Powtarzaj z otrzymaną różnicą, aż jej stopień będzie niższy niż stopień dzielnika — wtedy to reszta.

Przykład z kalkulatora: (x⁴ + 3x³ − 2x + 5) : (x² + 1) = x² + 3x − 1, reszta −5x + 6. Sprawdzenie: (x² + 1)(x² + 3x − 1) + (−5x + 6) = x⁴ + 3x³ − 2x + 5. Kalkulator pokazuje każdy krok dzielenia pisemnego, także wtedy, gdy dzielisz przez dwumian — możesz porównać obie metody.

Jak wpisywać wielomiany

• Wzorem: 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5; potęgi przez ^ albo ², ³. Możesz wpisać też postać iloczynową, np. (x - 1)^2(x + 3) — kalkulator ją wymnoży.
• Listą współczynników od najwyższej potęgi: 2, -3, 0, 1 (zero w miejscu brakującej potęgi). Gdy współczynniki mają przecinek dziesiętny, oddziel je średnikami: 0,5; -2; 1.
• Ułamki: 1/2x^2 albo 0,5x^2. Stopień wielomianu — maksymalnie 20.