Ułamek okresowy na zwykły

Zamień ułamek okresowy, np. 0,(3) albo 0,1(6), na ułamek zwykły krok po kroku — albo ułamek zwykły na dziesiętny z wyznaczeniem okresu.

Bez konta

Bez instalacji

Bezpłatnie

Przejdź do narzędzia

Instrukcja

1

Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku.
2

Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce.
3

Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.

                                                function runTool() {

                                                  return "Wynik gotowy w 0.1s";

                                                }

Ułamek dziesiętny okresowy

Ułamek zwykły

Rozwiązanie krok po kroku

Oceń to narzędzie:

5,0 / 5 · 1 ocena

Powiązane narzędzia

Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać

Podaj dalej

Komuś też się przyda?

Wyślij znajomemu link. Otworzy narzędzie od razu, bez konta i bez opłat.

Ułamek okresowy to ułamek dziesiętny, w którym od pewnego miejsca w nieskończoność powtarza się ta sama grupa cyfr — okres. Zapisujemy go w nawiasie: 0,333… = 0,(3), a 0,1666… = 0,1(6). Kalkulator powyżej zamienia ułamek okresowy na nieskracalny ułamek zwykły krok po kroku, a w drugą stronę — ułamek zwykły na dziesiętny, z wyznaczeniem okresu metodą dzielenia pisemnego.

Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły

Najprostsza metoda polega na pomnożeniu liczby przez taką potęgę dziesiątki, żeby okres „przesunął się” przed przecinek, i odjęciu stronami. Przykład dla x = 0,1(6):

Przed okresem jest 1 cyfra, a okres ma 1 cyfrę, więc liczymy 100x i 10x: 100x = 16,666…, 10x = 1,666…
Części po przecinku są takie same, więc po odjęciu znikają: 100x − 10x = 16 − 1, czyli 90x = 15.
x = 15/90 = 1/6 po skróceniu przez 15.

Dla ułamka okresowego czystego (okres zaczyna się zaraz po przecinku) wystarczy jedno mnożenie: dla x = 0,(27) mamy 100x = 27,(27), więc 99x = 27 i x = 27/99 = 3/11. Stąd szybka reguła: okres dzielimy przez tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres, np. 0,(142857) = 142857/999999 = 1/7.

Przykłady

Ułamki okresowe zamienione na zwykłe — wyniki kalkulatora
Ułamek okresowy	Rozwinięcie	Ułamek zwykły
0,(3)	0,333…	1/3
0,(6)	0,666…	2/3
0,1(6)	0,1666…	1/6
0,0(3)	0,0333…	1/30
0,08(3)	0,08333…	1/12
0,(27)	0,2727…	3/11
0,(142857)	0,142857142857…	1/7
1,2(45)	1,24545…	137/110
0,(9)	0,999…	1

Dlaczego 0,(9) = 1

To najbardziej zaskakujący wynik: według metody x = 0,(9), 10x = 9,(9), więc 9x = 9 i x = 1. Liczby 0,999… i 1 to ta sama liczba zapisana na dwa sposoby — nie ma między nimi żadnej innej liczby. Podobnie 0,4(9) = 0,5.

Kiedy ułamek zwykły ma rozwinięcie okresowe

Skróć ułamek i spójrz na mianownik. Jeśli w rozkładzie na czynniki pierwsze ma tylko dwójki i piątki (np. 4, 8, 20, 25, 40), rozwinięcie dziesiętne jest skończone: 1/4 = 0,25. Jeśli ma jakikolwiek inny czynnik (3, 7, 11…), rozwinięcie jest okresowe: 1/3 = 0,(3), 5/12 = 0,41(6). Gdy mianownik ma też czynnik 2 lub 5, przed okresem pojawiają się dodatkowe cyfry — to ułamek okresowy mieszany.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny — dzielenie pisemne

Dzielimy licznik przez mianownik pisemnie i zapisujemy kolejne reszty. Reszta jest zawsze mniejsza od mianownika, więc prędzej czy później musi się powtórzyć — a gdy się powtórzy, od tego miejsca powtarzają się też cyfry wyniku. Dlatego okres ułamka o mianowniku m ma najwyżej m − 1 cyfr. Na przykład 1/7 = 0,(142857) ma okres 6-cyfrowy, a 1/97 aż 96-cyfrowy — kalkulator wyznacza go dokładnie, bez zaokrągleń.

Działania na ułamkach zwykłych wykonasz w kalkulatorze ułamków, a skrócisz je w kalkulatorze skracania ułamków.

Najczęściej zadawane pytania

Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?

Oznacz liczbę jako x, pomnóż przez taką potęgę 10, żeby okres przesunął się przed przecinek, i odejmij stronami, aż znikną części po przecinku. Np. dla 0,(3): 10x = 3,(3), więc 9x = 3 i x = 1/3.

Ile to jest 0,(3) jako ułamek zwykły?

0,(3) = 0,333… = 1/3.

Ile to jest 0,1(6)?

0,1(6) = 0,1666… = 1/6.

Czy 0,(9) to to samo co 1?

Tak. 0,999… i 1 to ta sama liczba: z metody wynika 9x = 9, czyli x = 1.

Jak zapisać okres w kalkulatorze?

W nawiasie: 0,(3), 0,1(6), 2,(142857). Można też wpisać 0,333… — wtedy ostatnia cyfra jest traktowana jako okres.

Kiedy ułamek dziesiętny jest okresowy?

Gdy w skróconym ułamku zwykłym mianownik ma czynnik pierwszy inny niż 2 i 5, np. 3, 7 lub 11.