Magiczny kwadrat

Magiczny kwadrat to tabelka z liczbami, w której suma w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama. Tę wspólną sumę nazywamy sumą magiczną. Narzędzie powyżej uzupełnia brakujące liczby w kwadracie, sprawdza, czy kwadrat jest magiczny, i tworzy karty pracy do druku — z kluczem odpowiedzi na drugiej stronie.

Najsłynniejszy kwadrat magiczny 3 × 3

Wszystkie wiersze (2 + 7 + 6, 9 + 5 + 1, 4 + 3 + 8), kolumny (2 + 9 + 4, 7 + 5 + 3, 6 + 1 + 8) i przekątne (2 + 5 + 8, 6 + 5 + 4) dają 15. Według chińskiej legendy ten układ — nazywany Lo Shu — był wyryty na skorupie żółwia, który wyszedł z rzeki Lo. Z liczb od 1 do 9 da się ułożyć tylko ten jeden kwadrat magiczny; pozostałe 7 to jego obroty i odbicia lustrzane.

Jak uzupełnić magiczny kwadrat 3 × 3

1. Znajdź sumę magiczną. Jeśli jakiś wiersz, kolumna albo przekątna jest pełna — dodaj jej liczby. W kwadracie z liczb od 1 do 9 suma zawsze wynosi 15.
2. Środek = suma : 3. W każdym kwadracie magicznym 3 × 3 liczba w środku jest trzy razy mniejsza od sumy magicznej. Dla sumy 15 w środku jest 5, dla sumy 30 — 10.
3. Szukaj linii z jedną luką. Gdy w wierszu, kolumnie albo na przekątnej brakuje jednej liczby, odejmij znane liczby od sumy magicznej.
4. Sprawdź wynik — policz sumy wszystkich 8 linii.

Przykład: w kwadracie znane są 2 i 6 w górnych rogach oraz 5 w środku. Suma magiczna to 3 · 5 = 15, więc w górnym wierszu brakuje 15 − 2 − 6 = 7. Na przekątnej 2 – 5 – ? brakuje 15 − 2 − 5 = 8, na drugiej 6 – 5 – ? brakuje 4 — i dalej już łatwo. Narzędzie robi to samo, rozwiązując układ równań: kliknij Uzupełnij brakujące liczby, a wyliczone liczby pojawią się na niebiesko. Jeśli danych jest za mało albo są sprzeczne, dostaniesz o tym informację.

Jak sprawdzić, czy kwadrat jest magiczny

Wpisz wszystkie liczby i kliknij Sprawdź. Obok każdego wiersza i pod każdą kolumną widać jego sumę — na zielono, gdy zgadza się z sumą magiczną, na czerwono, gdy nie. Narzędzie zaznacza też liczby, które się powtarzają. W klasycznym kwadracie magicznym każda liczba występuje tylko raz.

Suma magiczna — wzór

Dla kwadratu n × n wypełnionego liczbami od 1 do n² suma magiczna wynosi S = n(n² + 1) / 2.

Kwadrat magiczny nie musi zawierać liczb od 1. Jeśli do każdej liczby dodasz to samo albo każdą pomnożysz przez to samo, kwadrat dalej będzie magiczny. Dlatego karty pracy możesz wygenerować z liczb parzystych (2, 4, 6…), z dziesiątek (10, 20, 30…) albo zaczynając od 11.

Magiczne kwadraty w klasie 2, 3 i 4

Magiczne kwadraty to częste zadanie w podręcznikach do matematyki w klasach 1–3, a potem w klasie 4. Ćwiczą dodawanie i odejmowanie w pamięci oraz logiczne myślenie. Karta pracy z naszego generatora ma od 2 do 8 kwadratów, liczbę pustych pól do wyboru (2 — łatwe, 6 — trudne) i opcję podania sumy magicznej. Każde zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie — sprawdzamy to przed wydrukiem. Na drugiej stronie wydruku są odpowiedzi.

Kwadrat magiczny 4 × 4 i Albrecht Dürer

Słynny kwadrat magiczny 4 × 4 umieścił Albrecht Dürer na miedziorycie „Melancholia I” z 1514 roku. Suma magiczna wynosi w nim 34, a w środku dolnego wiersza można odczytać rok powstania dzieła: 15 i 14. Kwadratów magicznych 4 × 4 z liczb od 1 do 16 jest dużo więcej niż 3 × 3 — 880 różnych (nie licząc obrotów i odbić). Generator tworzy kwadraty 3 × 3, 4 × 4 i 5 × 5, a uzupełnianie działa także dla 4 × 4 i 5 × 5.