Przedziały liczbowe — kalkulator
Wpisz dwa przedziały albo nierówności, a policzymy ich sumę, część wspólną, różnice i dopełnienia — z osią liczbową i zapisem w postaci nierówności.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Zapis: ⟨−2; 5) albo [−2; 5) (nawias kwadratowy lub < > = domknięty), (−∞; 4⟩ (∞ wpisz też jako inf), punkt {3}, suma (−∞; 1) ∪ ⟨3; 7⟩, nierówność x > 3 lub −2 ≤ x < 5.
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydać
Podaj dalej
Komuś też się przyda?
Wyślij znajomemu link. Otworzy narzędzie od razu, bez konta i bez opłat.
Przedział liczbowy to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między dwiema liczbami — z końcami albo bez nich. Kalkulator powyżej przyjmuje przedziały w zapisie szkolnym, np. ⟨−2; 5), albo jako nierówności, np. x > 3, i liczy sumę A ∪ B, iloczyn (część wspólną) A ∩ B, różnice A \ B i B \ A oraz dopełnienia. Każdy wynik pokazuje na osi liczbowej, zapisuje nawiasami i nierównością, a także wypisuje należące do niego liczby całkowite.
Rodzaje przedziałów
| Przedział | Nierówność | Na osi | Nazwa |
|---|---|---|---|
| (a; b) | a < x < b | oba kółka puste | otwarty |
| ⟨a; b⟩ | a ≤ x ≤ b | oba kółka zamalowane | domknięty |
| ⟨a; b) | a ≤ x < b | lewe zamalowane, prawe puste | lewostronnie domknięty |
| (a; b⟩ | a < x ≤ b | lewe puste, prawe zamalowane | prawostronnie domknięty |
| (a; +∞) | x > a | puste kółko i strzałka w prawo | nieograniczony |
| (−∞; b⟩ | x ≤ b | strzałka w lewo i zamalowane kółko | nieograniczony |
W polskich szkołach przedział domknięty zapisuje się nawiasem ostrym ⟨ ⟩, w wielu innych krajach — kwadratowym [ ]. Kalkulator rozumie oba zapisy. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, bo ∞ nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.
Działania na przedziałach
- Suma A ∪ B — liczby, które należą do A lub do B (do co najmniej jednego zbioru).
- Iloczyn (część wspólna) A ∩ B — liczby, które należą jednocześnie do A i do B.
- Różnica A \ B — liczby z A, które nie należą do B. Uwaga: A \ B to zwykle co innego niż B \ A.
- Dopełnienie A′ — wszystkie liczby rzeczywiste, które nie należą do A.
Przykład: A = ⟨−2; 5), B = (3; +∞)
| Działanie | Wynik | Nierówność |
|---|---|---|
| A ∪ B | ⟨−2; +∞) | x ≥ −2 |
| A ∩ B | (3; 5) | 3 < x < 5 |
| A \ B | ⟨−2; 3⟩ | −2 ≤ x ≤ 3 |
| B \ A | ⟨5; +∞) | x ≥ 5 |
| A′ | (−∞; −2) ∪ ⟨5; +∞) | x < −2 lub x ≥ 5 |
| B′ | (−∞; 3⟩ | x ≤ 3 |
Zwróć uwagę na końce: liczba 3 nie należy do B, więc należy do różnicy A \ B — dlatego wynik ma przy 3 nawias ostry. Liczba 5 nie należy do A, więc w B \ A przedział zaczyna się od ⟨5. Najłatwiej sprawdzić to na osi: przy każdym końcu zadaj sobie pytanie, czy ta konkretna liczba spełnia warunek działania.
Jak zaznaczyć przedział na osi liczbowej
- Narysuj oś z zaznaczonymi końcami przedziału.
- Przy końcu, który należy do przedziału (nawias ⟨ lub ⟩, znak ≤ albo ≥), narysuj zamalowane kółko; przy końcu, który nie należy (nawias okrągły, znak < albo >) — puste kółko.
- Zaznacz odcinek między końcami (albo półprostą ze strzałką, gdy przedział sięga nieskończoności).
Przy działaniach na dwóch przedziałach narysuj je jeden nad drugim, tak jak na osi w kalkulatorze — część wspólną i sumę odczytasz wtedy jednym spojrzeniem.
Przedziały a nierówności
Rozwiązania nierówności zapisuje się najczęściej właśnie przedziałami. Nierówność liniową, np. 2x − 4 > 0, rozwiązujesz do postaci x > 2, czyli x ∈ (2; +∞). Rozwiązanie nierówności kwadratowej bywa sumą dwóch przedziałów, np. x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) — taką nierówność rozwiążesz krok po kroku w kalkulatorze nierówności kwadratowych. Wynik możesz potem wkleić tutaj i np. znaleźć jego część wspólną z dziedziną.
Najczęściej zadawane pytania
Co to jest przedział liczbowy?
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych między dwiema liczbami (końcami). Końce mogą należeć do przedziału (przedział domknięty) albo nie (otwarty).
Czym różni się nawias okrągły od ostrego?
Nawias okrągły ( ) oznacza, że koniec nie należy do przedziału, a ostry ⟨ ⟩ (albo kwadratowy [ ]) — że należy.
Jak obliczyć część wspólną przedziałów?
Weź większy z lewych końców i mniejszy z prawych. Koniec należy do wyniku tylko wtedy, gdy należy do obu przedziałów. Jeśli lewy koniec jest większy od prawego, część wspólna jest pusta.
Jak obliczyć różnicę przedziałów A \ B?
Usuń z A wszystkie liczby należące do B. Końce B, które do B nie należą, zostają w wyniku — dlatego zmieniają się nawiasy.
Dlaczego przy nieskończoności jest zawsze nawias okrągły?
Bo nieskończoność nie jest liczbą — nie może należeć do przedziału, więc przedział jest z tej strony zawsze otwarty.
Czy mogę wpisać nierówność zamiast przedziału?
Tak, np. x > 3, x <= −1 albo −2 ≤ x < 5. Kalkulator zamieni ją na przedział.