Kalkulator NWW i NWD
Wpisz liczby całkowite rozdzielone spacją lub przecinkiem. Kalkulator zwróci NWW, NWD i znormalizowaną listę. Obsługa zera i liczb ujemnych.
- Bez rejestracji
- Szybkie działanie
- Operacje w pamięci
Zero back-endu, 100% lokalnie.
Kalkulator NWW i NWD
Kalkulator NWW i NWD online. Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik
To narzędzie oblicza dwie kluczowe wielkości arytmetyczne dla podanych liczb całkowitych: NWD (największy wspólny dzielnik) oraz NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność). Wpisz liczby rozdzielone spacją lub przecinkiem, kliknij „Oblicz”, a kalkulator zwróci wyniki razem ze znormalizowaną listą wejściową. Obsługujemy liczby dodatnie i ujemne oraz przypadki z zerem, zgodnie z powszechnymi konwencjami matematycznymi.
Co oblicza kalkulator i dla kogo jest przeznaczony
Kalkulator odpowiada na dwa pytania, które często pojawiają się w szkole, podczas rozwiązywania zadań z ułamków, przy planowaniu cykli oraz w prostych zastosowaniach inżynierskich.
- NWD — największa liczba całkowita, która dzieli bez reszty wszystkie podane liczby. Użyjesz jej do skracania ułamków, upraszczania proporcji, weryfikacji wspólnych dzielników.
- NWW — najmniejsza dodatnia liczba całkowita będąca wspólną wielokrotnością wszystkich podanych liczb. Służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika oraz do zsynchronizowania cykli (np. kiedy dwa zdarzenia znów wystąpią „razem”).
Narzędzie jest pomocne uczniom i studentom, nauczycielom, a także osobom organizującym harmonogramy (np. powtarzalne zadania, serwisy okresowe), gdzie przydaje się pojęcie wspólnego okresu.
Dane wejściowe i walidacja
Wprowadź co najmniej jedną liczbę całkowitą. Możesz wkleić długą listę.
- Separatory: spacja lub przecinek. Przykład:
12, 18, 30lub12 18 30. - Znaki: dopuszczalne są liczby ujemne. Dla obliczeń NWD/NWW znak nie ma znaczenia (używamy wartości bezwzględnych).
- Zero: wspierane. Obowiązują konwencje:
- NWD(0, a) = |a| dla a ≠ 0.
- NWW(0, a) = 0 dla a ≠ 0 (zero jest wielokrotnością każdej liczby).
- NWD(0, 0) jest nieokreślone.
- Zakres: liczby całkowite w typowych granicach obliczeniowych (bardzo ekstremalne wartości mogą zostać odrzucone przez walidację).
- Inne znaki: litery i symbole spoza zestawu cyfr, minusów, spacji i przecinków są odrzucane.
Po obliczeniu wyświetlamy: NWD, NWW oraz Znormalizowane liczby — czyli listę wejść po oczyszczeniu i konwersji.
Algorytm. Skąd biorą się liczby
Wykorzystujemy klasyczne, szybkie metody arytmetyczne. Działamy wyłącznie na liczbach całkowitych.
| Krok | Zasada | Opis |
|---|---|---|
| Normalizacja | parsowanie i |x| | Rozdzielamy wejście po separatorach, usuwamy puste pozycje, zamieniamy ujemne na wartość bezwzględną na potrzeby NWD i NWW. |
| NWD dwóch liczb | Algorytm Euklidesa | gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) aż do zera. Ostatnia niezerowa reszta jest NWD. |
| NWD wielu liczb | Redukcja | gcd(a, b, c, …) = gcd(gcd(a, b), c, …) — redukujemy sekwencyjnie. |
| NWW dwóch liczb | Iloczyn/NWD | lcm(a, b) = |a × b| / gcd(a, b), z konwencją lcm(0, a) = 0 dla a ≠ 0. |
| NWW wielu liczb | Redukcja | lcm(a, b, c, …) = lcm(lcm(a, b), c, …). Zera obsługujemy zgodnie z konwencją. |
Wyniki podajemy jako liczby całkowite. Jeżeli na wejściu są tylko zera, NWD jest nieokreślone, a NWW przyjmujemy jako 0 wyłącznie wtedy, gdy wśród liczb jest co najmniej jedno niezero — w przeciwnym razie wynik nie ma sensu praktycznego.
Instrukcja użycia dla użytkownika
- Wpisz liczby całkowite, oddzielając je spacją lub przecinkiem. Przykład:
12, 18, 30. - Kliknij Oblicz. Odczytaj NWD, NWW i Znormalizowane liczby.
- Aby zacząć ponownie, użyj Wyczyść i wprowadź kolejne wartości.
Rozszerzone przykłady obliczeń
Przykład 1: 12, 18, 30
NWD: najpierw gcd(12,18)=6, potem gcd(6,30)=6 → 6.
NWW: lcm(12,18)=36, dalej lcm(36,30)=180 → 180.
Znormalizowane: 12, 18, 30.
Przykład 2: 0, 8, 12
NWD: gcd(0,8)=8, gcd(8,12)=4 → 4.
NWW: lcm(0,8)=0, a następnie lcm(0,12)=0 → 0.
Znormalizowane: 0, 8, 12.
Przykład 3: −15, 35, 50
NWD: działamy na modułach, więc gcd(15,35,50)=5 → 5.
NWW: lcm(15,35)=105, lcm(105,50)=1050 → 1050.
Znormalizowane: 15, 35, 50.
Przykład 4: 7, 9, 20 (względnie pierwsze parami)
NWD: 1 → liczby nie mają dzielnika większego niż 1.
NWW: lcm(7,9)=63, lcm(63,20)=1260 → 1260.
Przykład 5: 1000000, 2000000, 3000000
NWD: 1 000 000.
NWW: 6 000 000.
Znormalizowane: 1000000, 2000000, 3000000.
Rozszerzona tabela orientacyjna
| Wejście | NWD | NWW | Krótki komentarz |
|---|---|---|---|
| 12, 18, 30 | 6 | 180 | Klasyczna tryada z podręcznika. |
| 0, 8, 12 | 4 | 0 | Zero wymusza NWW=0 przy obecności liczby niezerowej. |
| −15, 35, 50 | 5 | 1050 | Znaki nie mają wpływu na wynik. |
| 7, 9, 20 | 1 | 1260 | Liczby względnie pierwsze. |
| 16, 24, 40 | 8 | 240 | Wspólny dzielnik duży, NWW rośnie umiarkowanie. |
Wskazówki praktyczne
- Chcesz skrócić ułamek a/b? Podziel licznik i mianownik przez NWD(a,b).
- Chcesz wspólny mianownik dla ułamków? Użyj NWW ich mianowników i przeskaluj liczby.
- Organizujesz cykle (np. zadania co 6 i 8 dni)? Wspólny okres to NWW(6,8)=24.
- Jeżeli otrzymujesz NWW=0, wśród liczb jest co najmniej jedno 0 i co najmniej jedna liczba niezerowa. To oczekiwane zachowanie.
- Duże NWW to sygnał, że liczby mają mało wspólnych dzielników. Czasem wystarczy usunąć skrajne wartości, by otrzymać „zdrowszy” wspólny mianownik.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Czy kolejność liczb ma znaczenie?
Nie. Zarówno NWD, jak i NWW są przemienne i łączliwe, więc wynik nie zależy od kolejności.
Co z liczbami ułamkowymi?
Kalkulator działa na liczbach całkowitych. Dla ułamków najpierw sprowadź je do postaci licznik/mianownik i pracuj na liczbach całkowitych.
Dlaczego wynik NWW jest tak duży?
Dla liczb względnie pierwszych NWW równa się ich iloczynowi, co rośnie szybko. To naturalna własność.
Czy można podać bardzo długą listę?
Tak, ale pamiętaj o ograniczeniach praktycznych. Bardzo długie listy i ogromne wartości mogą spowolnić obliczenia lub zostać odrzucone przez walidację.