Kalkulator dwumianu Newtona
Symbol Newtona C(n,k), wiersz Pascala i współczynniki rozwinięcia
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćKalkulator dwumianu Newtona i symbolu Newtona
Kalkulator dwumianu Newtona wylicza symbol Newtona C(n,k), pełny wiersz trójkąta Pascala dla n oraz współczynniki rozwinięcia dwumianu (a+b)^n. Wyniki są całkowite — bez błędów zaokrągleń silni.
Symbol Newtona — wzór i znaczenie
Symbol Newtona C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) mówi, na ile sposobów można wybrać k elementów z n zbioru, gdy kolejność nie ma znaczenia. Kalkulator liczy go metodą iteracyjną (mnożenie i dzielenie naprzemienne), dzięki czemu wynik jest dokładny dla n do 30.
| Wartość | Co oznacza |
|---|---|
| C(n,0) = C(n,n) = 1 | jedna droga wybrać wszystko albo nic |
| C(n,1) = n | n sposobów wybrania jednego elementu |
| C(n,k) = C(n,n−k) | symetria trójkąta Pascala |
| Σ C(n,i) = 2^n | suma wiersza to liczba wszystkich podzbiorów |
Trójkąt Pascala i rozwinięcie dwumianu
Współczynniki rozwinięcia (a+b)^n to właśnie wiersz trójkąta Pascala: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Każdy wyraz to C(n,i)·a^(n−i)·b^i. Trójkąt ma też własność rekurencyjną: każdy element to suma dwóch nad nim stojących.
Najczęstsze pytania
Ile wynosi C(10,5)?
C(10,5) = 252. To najczęściej spotykany przykład — połowa dziesiątego wiersza Pascala. Kalkulator pokazuje cały wiersz naraz.
Czemu kalkulator nie liczy silni bezpośrednio?
Silnie rosną wybuchowo i przy większych n przekraczają zakres liczb całkowitych. Metoda iteracyjna dzieli w trakcie mnożenia, więc wynik zawsze mieści się w int.
Do czego służy symbol Newtona w praktyce?
W rachunku prawdopodobieństwa (rozkład dwumianowy), kombinatoryce (losowanie bez zwracania), algorytmach i statystyce.