Kalkulator NWW i NWD

NWW i NWD – kalkulator krok po kroku

Wpisz od 2 do 100 liczb całkowitych, a kalkulator od razu poda najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) i największy wspólny dzielnik (NWD). Dla 2–6 liczb pokazuje też, jak doszedł do wyniku: rozkład na czynniki pierwsze (dla liczb do 10 mld) i tabelę dzieleń algorytmu Euklidesa. Tabela pod wynikiem podaje dla każdej liczby mnożnik do wspólnego mianownika i iloraz przez NWD, a przycisk „Kopiuj wynik” przenosi całe rozwiązanie do schowka.

Definicja najmniejszej wspólnej wielokrotności i największego wspólnego dzielnika

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb całkowitych to najmniejsza liczba naturalna dodatnia, która jest podzielna przez każdą z tych liczb bez reszty. Przykładowo, dla liczb 4 i 6 wspólne wielokrotności to 12, 24, 36 itd. Najmniejszą z nich jest liczba 12, co oznacza, że NWW(4, 6) = 12. Największy wspólny dzielnik działa w drugą stronę: to największa liczba, przez którą dzieli się każda z podanych, np. NWD(4, 6) = 2.

Liczby wpisujesz w jedno pole, oddzielając je przecinkiem, spacją lub średnikiem. Minus nie zmienia wyniku, bo liczone są wartości bezwzględne. Wartości niecałkowite (np. 2.5) i większe niż 1 000 000 000 000 kalkulator pomija i informuje o tym pod polem. Uwaga na zapis dziesiętny z przecinkiem: „2,5” zostanie odczytane jako dwie osobne liczby, 2 i 5.

Metody obliczania: wielokrotności, rozkład na czynniki pierwsze, algorytm Euklidesa

Pierwsza metoda, najbardziej intuicyjna dla małych liczb, polega na wypisywaniu kolejnych wielokrotności danych liczb aż do znalezienia pierwszej wspólnej wartości. Dla liczb 3 i 5 wielokrotności 3 to: 3, 6, 9, 12, 15…, a wielokrotności 5 to: 5, 10, 15… Pierwszą wspólną wartością jest 15, więc NWW(3, 5) = 15. Metoda ta sprawdza się jednak wyłącznie przy małych liczbach.

Dla większych liczb znacznie skuteczniejszy jest rozkład na czynniki pierwsze. Każdą z liczb zapisuje się jako iloczyn liczb pierwszych. Do NWD bierze się tylko czynniki wspólne dla wszystkich liczb, z najmniejszymi wykładnikami, a do najmniejszej wspólnej wielokrotności – wszystkie czynniki, które wystąpiły w rozkładach, z największymi wykładnikami. Przykład dla zestawu 12, 18, 24, który kalkulator wczytuje na start:

Wspólne są czynniki 2 i 3, każdy co najmniej w pierwszej potędze, więc NWD = 2 · 3 = 6. Wszystkie czynniki z najwyższymi potęgami dają 2³ · 3² = 8 · 9 = 72, czyli NWW(12, 18, 24) = 72. Kalkulator rozpisuje to dla 2–6 liczb nie większych niż 10 mld. Przy dłuższych listach lub większych liczbach pokazuje sam wynik.

Algorytm Euklidesa daje NWD bez rozkładu: dzielisz większą liczbę przez mniejszą z resztą i powtarzasz dla dzielnika i reszty, aż reszta wyniesie 0. Dla 84 i 36: 84 = 2 · 36 + 12, potem 36 = 3 · 12 + 0, więc NWD = 12. Wielokrotność wynika z dzielnika: 84 : 12 · 36 = 7 · 36 = 252. Ta metoda jest szybka także dla liczb rzędu miliardów, dlatego kalkulator liczy nią wynik, a rozkład na czynniki pokazuje jako wyjaśnienie.

Praktyczne zastosowanie: wspólny mianownik, skracanie, cykle

Najczęstszym zastosowaniem w matematyce szkolnej jest sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika podczas ich dodawania lub odejmowania. Dla mianowników 8 i 12 najmniejszym wspólnym mianownikiem jest ich najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli 24. Kolumna z mnożnikiem w tabeli pod wynikiem podaje od razu, przez co rozszerzyć każdy ułamek: 3 dla ósemki i 2 dla dwunastki, więc 5/8 + 1/12 = 15/24 + 2/24 = 17/24.

Największy wspólny dzielnik służy z kolei do skracania: 18/24 po podzieleniu licznika i mianownika przez NWD = 6 daje 3/4. Kolumna „Liczba ÷ NWD” pokazuje właśnie te ilorazy.

Poza szkołą wielokrotność wspólna opisuje zbiegające się cykle. Jeżeli jedno urządzenie wykonuje cykl pracy co 6 minut, a drugie co 8 minut, to oba urządzenia rozpoczną swój cykl jednocześnie dokładnie co 24 minuty. Tak samo policzysz, co ile minut dwa autobusy odjadą razem z przystanku albo co ile dni zbiegną się dwa grafiki dyżurów.

Związek pomiędzy NWW a NWD

Dla dwóch liczb dodatnich iloczyn liczb jest równy iloczynowi ich najmniejszej wspólnej wielokrotności i największego wspólnego dzielnika: a · b = NWD(a, b) · NWW(a, b). Znając NWD, wystarczy więc podzielić iloczyn liczb przez ten dzielnik. Przy dwóch liczbach kalkulator pokazuje kafelek z iloczynem a · b, żeby można było sprawdzić tę równość na własnym przykładzie.

Dla trzech i więcej liczb ten wzór nie działa. Dla 2, 3 i 4 iloczyn wynosi 24, NWD = 1, a najmniejsza wspólna wielokrotność to 12, nie 24. Wtedy liczy się po kolei, dokładając następną liczbę do poprzedniego wyniku. Liczby względnie pierwsze, czyli o NWD = 1 (np. 7 i 13), mają wielokrotność wspólną równą iloczynowi: 91.