Kalkulator odległości współrzędnych

Kalkulator odległości współrzędnych: co liczy

Kalkulator odległości współrzędnych liczy najkrótszą odległość po powierzchni Ziemi (odległość ortodromiczną) między dwoma punktami podanymi jako szerokość i długość geograficzna. Wynik dostajesz w kilometrach, milach lądowych i milach morskich, razem z azymutem początkowym i końcowym, punktem środkowym trasy oraz odległością na elipsoidzie WGS-84.

Drugi tryb, „Punkt docelowy”, działa odwrotnie: podajesz punkt startowy, odległość i azymut, a narzędzie wyznacza współrzędne miejsca, do którego dotrzesz. Współrzędne wpisujesz w stopniach dziesiętnych (52,2297 lub 52.2297) albo w stopniach, minutach i sekundach (52°13′47″ N). Parę skopiowaną z Map Google, np. 52.2297, 21.0122, wklejasz w pole szerokości, a kalkulator sam rozdzieli ją na dwa pola. Każdy punkt z wyniku jest pokazany w trzech formatach: dziesiętnym, w stopniach, minutach i sekundach oraz w postaci gotowej do wklejenia w mapy.

Wzór haversine

a = sin²(Δφ/2) + cos φ1 · cos φ2 · sin²(Δλ/2)

d = 2R · atan2(√a, √(1−a)), gdzie R = 6371 km

φ to szerokość, a λ długość geograficzna, obie w radianach. Wzór uwzględnia kulistość Ziemi, dlatego na dużych dystansach daje dokładniejsze wyniki niż proste odejmowanie współrzędnych jak na płaskiej mapie.

Odległość na kuli i na elipsoidzie WGS-84

Ziemia jest lekko spłaszczona na biegunach, a odbiorniki GPS i serwisy mapowe używają elipsoidy WGS-84. Dlatego obok wyniku haversine kalkulator podaje odległość policzoną wzorem odwrotnym Vincenty’ego na tej elipsoidzie, razem z różnicą w jednostce wyniku i w procentach. Różnica to zwykle ułamek procenta, najwyżej ok. 0,5%. Dla punktów niemal antypodycznych, czyli leżących po przeciwnych stronach globu, metoda Vincenty’ego się nie zbiega i to pole pozostaje puste.

Azymut początkowy i końcowy

Azymut to kąt mierzony od północy zgodnie z ruchem wskazówek zegara: 0° to północ, 90° wschód, 180° południe, 270° zachód. Na ortodromie kierunek względem południków stale się zmienia, więc kalkulator podaje dwa kąty: azymut początkowy (w którą stronę ruszyć z punktu A) i końcowy (w jakim kierunku poruszasz się, docierając do B). Każdy z nich jest też opisany jednym z ośmiu kierunków: N, NE, E, SE, S, SW, W lub NW. To azymut geograficzny; kompas wskazuje północ magnetyczną, która różni się od geograficznej o deklinację.

Przykład: Warszawa – Kraków

Warszawę (52,2297; 21,0122) i Kraków (50,0647; 19,9450) dzieli w linii prostej ok. 252,0 km, czyli ok. 156,6 mili lądowej albo 136,1 mili morskiej. Azymut początkowy wynosi ok. 197,6°, a końcowy ok. 196,8°. Kalkulator oznaczy oba jako S (południe), bo odchylenie na zachód jest mniejsze niż 22,5°. Punkt środkowy trasy wypada w okolicy 51,148° N; 20,466° E. Rzeczywista trasa drogowa jest dłuższa.

Zastosowania

• planowanie tras i szacowanie dystansu w linii prostej
• nawigacja morska i lotnicza, w której odległości podaje się w milach morskich
• wyznaczanie punktu oddalonego o zadany dystans w danym kierunku, np. w geocachingu
• obliczenia w grach, mapach i aplikacjach lokalizacyjnych
• porównanie odległości w prostej z trasą drogową

Jak kalkulator zamienia współrzędne na kilometry

Kalkulator wyznacza kąt środkowy między punktami, czyli kąt między promieniami poprowadzonymi ze środka kuli do obu lokalizacji, i mnoży go (w radianach) przez promień 6371 km. Wynik to długość łuku, czyli najkrótsza droga po powierzchni.

Skala stopnia nie jest jednakowa w obu kierunkach. Stopień szerokości geograficznej to wszędzie ok. 111,2 km, a stopień długości tylko na równiku; bliżej biegunów równoleżniki są krótsze. Za to skrócenie odpowiada we wzorze mnożenie przez cosinus szerokości obu punktów. Wzór haversine jest też odporny na utratę precyzji przy małych dystansach, gdy punkty dzieli kilkaset metrów, w przeciwieństwie do klasycznego wzoru sferycznego opartego na cosinusie.

Przykład krok po kroku: Warszawa i Kraków

1. Zapisz pierwszy punkt: Warszawa – szerokość 52,2297, długość 21,0122.
2. Zapisz drugi punkt: Kraków – szerokość 50,0647, długość 19,9450.
3. Oblicz różnice: szerokość 50,0647 − 52,2297 = −2,1650 stopnia, długość 19,9450 − 21,0122 = −1,0672 stopnia. Znaki są ujemne, bo drugi punkt leży na południe i na zachód od pierwszego.
4. Zamień obie różnice na radiany, mnożąc przez π/180, czyli przez około 0,017453: otrzymujesz około −0,037786 rad oraz −0,018626 rad.
5. Weź połowy tych kątów (−0,018893 i −0,009313 rad), policz ich sinusy (−0,018892 i −0,009313) i podnieś do kwadratu: 0,000357 oraz 0,000087. Cosinusy szerokości obu punktów wynoszą około 0,6125 i 0,6419, a po złożeniu wszystkich składników wartość a to około 0,000391.
6. Pierwiastek z tej liczby to 0,019774, a funkcja atan2 daje 0,019775 rad, więc kąt środkowy to 2 × 0,019775, czyli około 0,039551 rad (w przybliżeniu 2,266 stopnia). Po pomnożeniu przez promień 6371 km wychodzi ok. 251,98 km, czyli niespełna 252 km.
7. Azymut z tych samych danych to ok. 197,6°: kierunek południowy z lekkim odchyleniem na zachód.

Przelicznik kąta na kilometry dla kuli o promieniu 6371 km

Punkt docelowy z odległości i azymutu

W trybie „Punkt docelowy” wpisujesz współrzędne startu, odległość w wybranej jednostce i azymut od 0 do 360°. Kalkulator przesuwa punkt po ortodromie na kuli o promieniu 6371 km i podaje współrzędne celu, azymut końcowy oraz dystans w km, milach i milach morskich. Przykład: z Warszawy (52,2297; 21,0122) 100 km w kierunku 45° prowadzi do punktu ok. 52,8610; 22,0655, a azymut końcowy wynosi ok. 45,8°. Odległość nie może przekroczyć połowy obwodu Ziemi (ok. 20 015 km), bo dalej najkrótsza droga prowadziłaby już z drugiej strony globu.

Praktyczne wskazówki przed wpisaniem danych

• Kalkulator przyjmuje stopnie dziesiętne, stopnie z minutami (52°13,78′ N) oraz stopnie, minuty i sekundy (52°13′47″ N albo 52 13 47 N). Ręcznie przeliczasz je tak: minuty dzielisz przez 60, sekundy przez 3600 i dodajesz do stopni, więc 52°13′47″ to 52 + 13/60 + 47/3600 ≈ 52,2297.
• Szerokość południowa (S) i długość zachodnia (W) to wartości ujemne: Londyn ma długość −0,1278, czyli 0°07′40″ W. Nie łącz minusa z literą półkuli (np. −52 N), bo taki zapis jest niejednoznaczny i kalkulator go odrzuci.
• Zapisuj co najmniej cztery miejsca po przecinku. Czwarte miejsce w szerokości geograficznej to około 11 metrów, piąte ok. 1,1 m. Skrócenie zapisu do dwóch miejsc oznacza błąd rzędu kilometra.
• Sprawdź rząd wielkości wyniku. Wynik bliski maksimum, czyli ok. 20 015 km, zwykle oznacza pomyłkę w znaku albo zamienioną szerokość z długością.
• Trasę wieloodcinkową licz odcinek po odcinku i sumuj wyniki – narzędzie przyjmuje dwa punkty naraz.

Czego kalkulator nie uwzględnia

• Ukształtowania terenu i przeszkód. Góry, jeziora, budynki i granice nie wpływają na wynik, choć w rzeczywistości wymuszają nadkładanie drogi.
• Wysokości nad poziomem morza. Oba punkty leżą na powierzchni modelu Ziemi, więc przewyższenie między doliną a szczytem nie zwiększa wyniku.
• Spłaszczenia Ziemi w trybie punktu docelowego. Cel wyznaczany jest na kuli, bez poprawki na elipsoidę WGS-84, więc jego położenie może odbiegać od wskazań GPS o ułamek procenta przebytego dystansu.
• Stałego kursu. Ortodroma nie jest linią o stałym azymucie (loksodromą). Na długiej trasie trzeba korygować kurs, bo kierunek względem północy zmienia się od azymutu początkowego do końcowego.