Kalkulator pierwiastków — pierwiastkowanie online
Kalkulator pierwiastków: podaj liczbę i stopień, a obliczymy wartość oraz postać uproszczoną.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
√144
Pierwiastek kwadratowy z 144 to 12 (wynik dokładny): 12 podniesione do potęgi 2 daje 144.
Rodzaj wyniku
Liczba jest pełną potęgą stopnia 2.
Sprawdzenie
Wynik podniesiony do potęgi 2.
| Stopień | Zapis | Wartość |
|---|---|---|
| 2 | √144 | 12 |
| 3 | ∛144 | 5,24148279 |
| 4 | 4√144 | 3,46410162 |
| 5 | 5√144 | 2,70192008 |
| 6 | 6√144 | 2,28942849 |
Ściąga: kwadraty i sześciany liczb 1–15
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1 000 |
| 11 | 121 | 1 331 |
| 12 | 144 | 1 728 |
| 13 | 169 | 2 197 |
| 14 | 196 | 2 744 |
| 15 | 225 | 3 375 |
Jak to liczymy
Pierwiastek stopnia n z liczby x to taka liczba, która podniesiona do potęgi n daje x. Liczymy go jako x^(1/n). Dla √144 wychodzi 144^(1/2) = 12.
Postać uproszczona
Jeśli liczba pod pierwiastkiem ma czynnik będący pełną potęgą, można go wyciągnąć przed znak: √72 = √(36·2) = 6√2, a ∛54 = ∛(27·2) = 3∛2. Kalkulator robi to dla liczb całkowitych do 1 000 000 000 000. Zobacz też kalkulator Pitagorasa.
Liczby ujemne
Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje: ∛(-8) = -2. Stopnia parzystego nie istnieje w liczbach rzeczywistych, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do potęgi parzystej nie jest ujemna. Dlatego √(-4) kalkulator odrzuca.
Typowe pułapki
√(a²) to |a|, nie a: √((-3)²) = 3. Pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków: √(9+16) = 5, ale √9 + √16 = 7. Wynik niewymierny, np. √2, pokazujemy z zaokrągleniem do 8 miejsc po przecinku.
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćPierwiastkowanie jako podstawowa operacja matematyczna
Pierwiastkowanie to operacja odwrotna do potęgowania, służąca do znajdowania liczby, która po podniesieniu do określonej potęgi daje liczbę podpierwiastkową. Najpopularniejszym rodzajem pierwiastka jest pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia, oznaczany symbolem √), który odpowiada na pytanie: jaka liczba pomnożona przez samą siebie daje daną wartość. Drugim najczęściej stosowanym jest pierwiastek sześcienny (trzeciego stopnia, ³√), powiązany geometrycznie z długością krawędzi sześcianu o zadanej objętości. Pierwiastkowanie jest niezbędne w algebrze, trygonometrii, geometrii (np. przy obliczaniu przekątnych, pól i objętości) oraz w fizyce i inżynierii.
Nasz darmowy kalkulator pierwiastków online umożliwia wyciąganie pierwiastków drugiego, trzeciego oraz dowolnego stopnia z liczb dodatnich. W przypadku liczb, z których nie da się wyciągnąć idealnego pierwiastka całkowitego, kalkulator podaje dokładne zaokrąglenie dziesiętne oraz uproszczoną formę symboliczną.
Definicja i wzór matematyczny pierwiastka
Formalnie pierwiastek stopnia n z liczby a definiuje się następująco:
n√a = b <=> bn = a
gdzie:
- n to stopień pierwiastka (dla n = 2 stopień zazwyczaj pomija się w zapisie),
- a to liczba podpierwiastkowa (dla stopnia parzystego musi być liczbą nieujemną),
- b to wynik pierwiastkowania.
Pierwiastki można również zapisać w formie potęgi o wykładniku ułamkowym:
n√a = a1/n
Tabela pierwiastków kwadratowych i sześciennych dla popularnych liczb
Poniższa tabela zawiera zestawienie wartości pierwiastków drugiego (√a) i trzeciego stopnia (³√a) dla liczb, które dają całkowite wyniki:
| Liczba podpierwiastkowa (a) | Pierwiastek kwadratowy (√a) | Uzasadnienie (b² = a) | Pierwiastek sześcienny (³√a) | Uzasadnienie (b³ = a) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1² = 1 | 1 | 1³ = 1 |
| 4 | 2 | 2² = 4 | ≈ 1.59 | 1.59³ ≈ 4 |
| 8 | ≈ 2.83 | 2.83² ≈ 8 | 2 | 2³ = 8 |
| 9 | 3 | 3² = 9 | ≈ 2.08 | 2.08³ ≈ 9 |
| 16 | 4 | 4² = 16 | ≈ 2.52 | 2.52³ ≈ 16 |
| 27 | ≈ 5.20 | 5.20² ≈ 27 | 3 | 3³ = 27 |
| 64 | 8 | 8² = 64 | 4 | 4³ = 64 |
| 100 | 10 | 10² = 100 | ≈ 4.64 | 4.64³ ≈ 100 |
| 125 | ≈ 11.18 | 11.18² ≈ 125 | 5 | 5³ = 125 |
Własności pierwiastków i operacje na nich
Przy przekształcaniu wyrażeń z pierwiastkami warto stosować następujące tożsamości matematyczne:
- Pierwiastek z iloczynu:
√(a × b) = √a × √b - Pierwiastek z ilorazu:
√(a / b) = √a / √b - Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka:
√50 = √(25 × 2) = 5√2
Często zadawane pytania (FAQ)
Co to jest pierwiastkowanie?
To operacja odwrotna do potęgowania. Polega na znalezieniu liczby, która podniesiona do danej potęgi da liczbę podpierwiastkową.
Czy można obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej?
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych (np. kwadratowy) z liczb ujemnych nie istnieją. Są one zdefiniowane dopiero w zbiorze liczb zespolonych (np. √-4 = 2i, gdzie i² = -1). Pierwiastki stopni nieparzystych (np. trzeciego stopnia) z liczb ujemnych są liczbami rzeczywistymi (np. ³√-8 = -2).
Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy w Excelu?
W programie Excel służy do tego funkcja PIERWIASTEK (np. =PIERWIASTEK(16) zwróci 4).
Co to znaczy usunąć niewymierność z mianownika?
To proces przekształcenia ułamka tak, aby w jego mianowniku nie było pierwiastka (liczby niewymiernej). Robi się to poprzez odpowiednie pomnożenie licznika i mianownika przez to samo wyrażenie.
Jak szybko oszacować wartość pierwiastka bez kalkulatora?
Znajdź dwie najbliższe liczby, z których pierwiastki są liczbami całkowitymi. Przykładowo, aby oszacować √30: wiemy, że √25 = 5, a √36 = 6. Zatem √30 leży pomiędzy 5 a 6 (około 5,48).