Kalkulator wyznacznika macierzy
Oblicz wyznacznik macierzy kwadratowej: 2×2, 3×3 i 4×4. Pokazuje kroki obliczeniowe. Rozwinięcie Laplace'a i metoda Sarrusa. Bezpłatnie.
-
1Wprowadź dane
Wpisz treść, wklej tekst lub załaduj plik z dysku. -
2Kliknij przycisk
Narzędzie natychmiast przetworzy Twoje dane w przeglądarce. -
3Pobierz wynik
Skopiuj gotowy tekst lub zapisz plik na urządzeniu.
return "Wynik gotowy w 0.1s";
}
Oceń to narzędzie:
Powiązane narzędzia
Inne narzędzia, które mogą Ci się przydaćKalkulator wyznacznika macierzy – determinant z krokami
Wyznacznik (determinant) macierzy to liczba skalarna obliczana z macierzy kwadratowej, kluczowa w algebrze liniowej: sprawdza odwracalność macierzy, oblicza objętości i przekształcenia geometryczne. Kalkulator oblicza wyznacznik z pokazaniem kroków dla 2×2, 3×3 i 4×4.
Wyznacznik macierzy 2×2
Macierz [[a,b],[c,d]]. det = ad - bc. Przykład: [[3,1],[2,4]]. det = 3×4 - 1×2 = 12 - 2 = 10. Interpretacja geometryczna: |det| = pole równoległoboku rozpiętego przez wektory wierszy. Jeśli det = 0: macierz osobliwa (nieodwracalna, wiersze liniowo zależne).
Wyznacznik macierzy 3×3 – reguła Sarrusa
Metoda Sarrusa: skopiuj pierwsze dwie kolumny obok macierzy. Sześć iloczynów: trzy po przekątnej głównej (+), trzy po anty-przekątnej (-). det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg). Przykład: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]. det = 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3+12-9 = 0. (Macierz osobliwa!)
Rozwinięcie Laplace'a
Dla macierzy n×n: rozwiń według dowolnego wiersza lub kolumny. det(A) = Σ (-1)^(i+j) a_ij × M_ij. M_ij = minor (wyznacznik macierzy (n-1)×(n-1) po usunięciu wiersza i i kolumny j). Cofactor = (-1)^(i+j) × M_ij. Wybierz wiersz/kolumnę z największą liczbą zer (minimalizuj obliczenia). Rekurencja: 4×4 → cztery 3×3 → każde trzy 2×2.
Zastosowania wyznacznika
Odwracalność: det ≠ 0 ⟺ macierz odwracalna. Układy równań: Cramer's rule (det A ≠ 0 → unikalne rozwiązanie). Geometria: |det| = współczynnik skalowania objętości przy przekształceniu liniowym. Wartości własne: det(A - λI) = 0 (równanie charakterystyczne). Iloczyn wektorowy: det([[i,j,k],[a1,a2,a3],[b1,b2,b3]]).
Najczęstsze pytania
Kiedy wyznacznik jest równy zero?
Dwa identyczne wiersze lub kolumny. Jeden wiersz lub kolumna = suma innych (liniowa zależność). Zerowy wiersz lub kolumna. Macierz osobliwa (singular): układ równań nie ma jednoznacznego rozwiązania lub ma nieskończenie wiele.
Jak wyznacznik zmienia się przy operacjach na macierzy?
Zamiana wierszy: det zmienia znak (-det). Skalowanie wiersza przez k: det × k. Dodanie wielokrotności wiersza do innego: det bez zmian. Transpozycja: det(A^T) = det(A). Iloczyn macierzy: det(AB) = det(A)×det(B). Odwrotność: det(A^{-1}) = 1/det(A).
Jak obliczać wyznacznik 4×4?
Rozwinięcie Laplace'a: wybierz wiersz z zerami. Dla każdego elementu a_ij ≠ 0: oblicz minor 3×3 (kalkulator wyżej). Cofactor: (-1)^(i+j) × minor. Suma: Σ a_ij × cofactor. 4×4 z jednym zerami: 3 operacje zamiast 4. Eliminacja Gaussa: szybsza dla dużych macierzy.
Co to są wartości własne i jak są powiązane z wyznacznikiem?
Wartości własne λ: det(A - λI) = 0 (równanie charakterystyczne stopnia n). Wyznacznik A = iloczyn wszystkich wartości własnych (det A = λ1 × λ2 × ... × λn). Ślad macierzy = suma wartości własnych. Jeśli 0 jest wartością własną: det = 0 (macierz osobliwa).
Jak sprawdzić obliczenia wyznacznika?
Numpy (Python): np.linalg.det(array). MATLAB: det(A). Wolfram Alpha: "determinant of [[1,2],[3,4]]". Excel: =MDETERM({1,2;3,4}). Ręcznie: sprawdź 2×2 cofaktory osobno. Czerwona flaga: det(A) × det(A^{-1}) ≠ 1 → błąd w obliczeniach.
Powiązane narzedzia: kalkulator macierzy, kalkulator wektorow i kalkulator ukladow rownan.