Pytanie z przodu, odpowiedź z tyłu. Karty, których nie umiesz, wracają jeszcze w tej sesji, a te, które umiesz — na powtórkę po 1, 3, 7, 14 i 30 dniach.
14 kart z quizu „Pochodna funkcji — liceum”: na każdej pytanie i odpowiedź.
- Ile wynosi granica lim_{x→∞} (3x + 1)/(x − 5)?
- 3Dzielimy licznik i mianownik przez x: (3 + 1/x)/(1 − 5/x) dąży do 3/1 = 3.
- Jaka jest pochodna funkcji f(x) = x³ − 4x?
- 3x² − 4Stosujemy wzór (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ oraz (ax)' = a, więc f'(x) = 3x² − 4.
- Jeśli f'(x) > 0 w całym przedziale (a, b), to funkcja f w tym przedziale jest:
- rosnącaDodatnia pochodna w przedziale oznacza, że funkcja jest w nim rosnąca.
- Pochodna funkcji f(x) = 5 (funkcji stałej) jest równa 0.
- PrawdaPochodna funkcji stałej jest równa zero w każdym punkcie.
- Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x₀ jest równy f(x₀).
- FałszWspółczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej f'(x₀), a nie wartości funkcji.
- Jeśli pochodna funkcji różniczkowalnej zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie x₀, to w x₀ funkcja ma maksimum lokalne.
- PrawdaFunkcja rośnie przed x₀ i maleje po x₀, więc ma w x₀ maksimum lokalne.
- Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² + 3x w punkcie o odciętej x = 2.
- 7f'(x) = 2x + 3, więc f'(2) = 4 + 3 = 7.
- Oblicz granicę lim_{x→∞} (4x² − x)/(2x² + 7).
- 2Dzielimy przez x²: (4 − 1/x)/(2 + 7/x²) dąży do 4/2 = 2.
- Funkcja f(x) = x³ − 12x ma maksimum lokalne w pewnym punkcie. Podaj wartość tego maksimum.
- 16f'(x) = 3x² − 12 = 0 dla x = ±2; pochodna zmienia znak z + na − w x = −2, więc maksimum to f(−2) = −8 + 24 = 16.
- Jak brzmi równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² w punkcie (3, 9)?
- y = 6x − 9f′(x) = 2x, więc f′(3) = 6. Styczna: y − 9 = 6(x − 3), czyli y = 6x − 9.
- Dla jakiego x funkcja f(x) = x² − 6x + 1 osiąga minimum lokalne?
- x = 3f′(x) = 2x − 6 = 0 daje x = 3; pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest to minimum.
- Jeśli f′(x₀) = 0, to funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne.
- FałszZerowanie się pochodnej to warunek konieczny, ale niewystarczający; np. f(x) = x³ ma f′(0) = 0 i nie ma ekstremum.
- Pochodna funkcji f(x) = 1/x jest równa −1/x² dla x ≠ 0.
- PrawdaPonieważ 1/x = x⁻¹, więc pochodna wynosi −x⁻² = −1/x².
- Oblicz wartość pochodnej funkcji f(x) = x³ − 2x² + x w punkcie x = 2.
- 5f′(x) = 3x² − 4x + 1, więc f′(2) = 12 − 8 + 1 = 5.