Matematyka — podstawa programowa 2017, klasy 7–8

Źródło: Dz.U. 2017 poz. 356 z późn. zm., załącznik nr 2 w brzmieniu nadanym rozporządzeniem z 28 czerwca 2024 r. (Dz.U. 2024 poz. 996) — tekst dosłowny.

Cele kształcenia — wymagania ogólne

1. Wykonywanie nieskomplikowanych obliczeń w pamięci lub pisemnie oraz wykorzystanie tych umiejętności w sytuacjach praktycznych.
2. Weryfikowanie i interpretowanie otrzymanych wyników oraz ocena sensowności rozwiązania.
3. Odczytywanie i interpretowanie danych przedstawionych w różnej formie oraz ich przetwarzanie.
4. Interpretowanie i tworzenie tekstów o charakterze matematycznym oraz graficzne przedstawianie danych.
5. Używanie języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników.
6. Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.
7. Dobieranie modelu matematycznego do prostej sytuacji oraz budowanie go w różnych kontekstach, także w kontekście praktycznym.

Treści nauczania — wymagania szczegółowe

Potęgi o podstawach wymiernych

• S17MAT.VIIiVIII.I.1 zapisuje iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.I.2 mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach całkowitych dodatnich — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.I.3 mnoży potęgi o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.I.4 podnosi potęgę do potęgi — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.I.5 odczytuje i zapisuje liczby w notacji wykładniczej 𝑎𝑎 ∙ 10𝑘𝑘 , gdy 1 ≤ 𝑎𝑎 < 10, k jest liczbą całkowitą — ułóż lekcję

Pierwiastki

• S17MAT.VIIiVIII.II.1 oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.II.2 szacuje wielkość danego pierwiastka kwadratowego lub sześciennego oraz wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.II.3 porównuje wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastki z daną liczbą wymierną oraz znajduje liczby wymierne większe lub mniejsze od takiej wartości, np. znajduje liczbę całkowitą 𝑎𝑎 taką, że: 𝑎𝑎 ≤ √137 < 𝑎𝑎 + 1 — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.II.4 oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu dwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak pierwiastka i włącza liczbę pod znak pierwiastka — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.II.5 mnoży i dzieli pierwiastki tego samego stopnia — ułóż lekcję

Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną i wieloma zmiennymi

• S17MAT.VIIiVIII.III.1 zapisuje wyniki podanych działań w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.III.2 oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.III.3 zapisuje zależności przedstawione w zadaniach w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.III.4 zapisuje rozwiązania zadań w postaci wyrażeń algebraicznych jak w przykładzie: Bartek i Grześ zbierali kasztany. Bartek zebrał n kasztanów, Grześ zebrał 7 razy więcej. Następnie Grześ w drodze do domu zgubił 10 kasztanów, a połowę pozostałych oddał Bartkowi. Ile kasztanów ma teraz Bartek, a ile ma Grześ? — ułóż lekcję

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania…

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich

• S17MAT.VIIiVIII.IV Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.IV.L1.1 Uczeń: porządkuje jednomiany i dodaje jednomiany podobne (tzn. różniące się jedynie współczynnikiem liczbowym) — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.IV.L1.2 Uczeń: dodaje i odejmuje sumy algebraiczne, redukując wyrazy podobne — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.IV.L1.3 Uczeń: mnoży sumy algebraiczne przez jednomian i dodaje wyrażenia powstałe z mnożenia sum algebraicznych przez jednomiany — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.IV.L1.4 Uczeń: mnoży dwumian przez dwumian, redukując wyrazy podobne — ułóż lekcję

Obliczenia procentowe

• S17MAT.VIIiVIII.V.1 przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.V.2 oblicza liczbę a równą p procent danej liczby b — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.V.3 oblicza, jaki procent danej liczby b stanowi liczba a — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.V.4 oblicza liczbę b, której p procent jest równe a — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.V.5 stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, również w przypadkach dwukrotnych podwyżek lub obniżek danej wielkości — ułóż lekcję

Równania z jedną niewiadomą

• S17MAT.VIIiVIII.VI.1 sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą, np. sprawdza, które liczby całkowite niedodatnie i większe 𝑥𝑥3 𝑥𝑥2 od – 8•ą rozwiązaniami równania 8 + 2 = 0 — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VI.2 rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VI.3 rozwiązuje równania, które po prostych przekształceniach wyrażeń algebraicznych sprowadzają się do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VI.4 rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym także z obliczeniami procentowymi — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VI.5 przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość we wzorach geometrycznych (np. pól figur) i fizycznych (np. dotyczących prędkości, drogi i czasu) — ułóż lekcję

Proporcjonalność prosta

• S17MAT.VIIiVIII.VII.1 podaje przykłady wielkości wprost proporcjonalnych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VII.2 wyznacza wartość przyjmowaną przez wielkość wprost proporcjonalną w przypadku konkretnej zależności proporcjonalnej, np. wartość zakupionego towaru w zależności od liczby sztuk towaru — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VII.3 stosuje podział proporcjonalny — ułóż lekcję

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

• S17MAT.VIIiVIII.VIII.1 zna i stosuje twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych (z wykorzystaniem zależności między kątami przyległymi) — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.2 przedstawia na płaszczyźnie dwie proste w różnych położeniach względem siebie, w szczególności proste prostopadłe i proste równoległe — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.3 korzysta z własności prostych równoległych, w szczególności stosuje równość kątów odpowiadających i naprzemianległych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.4 zna i stosuje cechy przystawania trójkątów — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.5 zna nierówność trójkąta AB + BC ≥ AC i wie, kiedy zachodzi równość — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.6 wykonuje proste obliczenia geometryczne, wykorzystując sumę kątów wewnętrznych trójkąta i własności trójkątów równoramiennych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.7 zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego) — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.8.a przeprowadza dowody geometryczne nie trudniejsze niż w przykładach: dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym AC = BC. W tym trójkącie poprowadzono wysokość AD. Udowodnij, że kąt ACB jest dwa razy większy od kąta BAD — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.VIII.8.b przeprowadza dowody geometryczne nie trudniejsze niż w przykładach: na bokach BC i CD prostokąta ABCD zbudowano, na zewnątrz prostokąta, dwa trójkąty równoboczne BCE i CDF. Udowodnij, że AE = AF — ułóż lekcję

Wielokąty

• S17MAT.VIIiVIII.IX.1 zna pojęcie wielokąta foremnego — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.IX.2.a stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta, kwadratu, równoległoboku, rombu, trapezu, a także do wyznaczania długości odcinków w zadaniach nie trudniejszych niż w przykładach: oblicz najkrótszą wysokość trójkąta prostokątnego o bokach długości: 5 cm, 12 cm i 13 cm — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.IX.2.b stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta, kwadratu, równoległoboku, rombu, trapezu, a także do wyznaczania długości odcinków w zadaniach nie trudniejszych niż w przykładach: przekątne rombu ABCD mają długości AC = 8 dm i BD = 10 dm. Przekątną BD rombu przedłużono do punktu E w taki sposób, że odcinek BE jest dwa razy dłuższy od tej przekątnej. Oblicz pole trójkąta CDE. (Zadanie ma dwie odpowiedzi.) — ułóż lekcję

Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie

• S17MAT.VIIiVIII.X.1 zaznacza na osi liczbowej zbiory liczb spełniających warunek taki jak 𝑥𝑥 ≥ 1,5 lub taki jak 𝑥𝑥 < − — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.X.2 znajduje współrzędne danych (na rysunku) punktów kratowych w układzie współrzędnych na płaszczyźnie — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.X.3 rysuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty kratowe o danych współrzędnych całkowitych (dowolnego znaku) — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.X.4 znajduje środek odcinka, którego końce mają dane współrzędne (całkowite lub wymierne) oraz znajduje współrzędne drugiego końca odcinka, gdy dany jest jeden koniec i środek — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.X.5 oblicza długość odcinka, którego końce są danymi punktami kratowymi w układzie współrzędnych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.X.6 dla danych punktów kratowych A i B znajduje inne punkty kratowe należące do prostej AB — ułóż lekcję

Geometria przestrzenna

• S17MAT.VIIiVIII.XI.1 rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy – w tym proste i prawidłowe — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XI.2 oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów prostych, prawidłowych i takich, które nie są prawidłowe o poziomie trudności nie większym niż w przykładowym zadaniu: Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego dwa kąty mają miarę po 45°, a najdłuższy bok ma długość 6√2 dm. Jeden z boków prostokąta, który jest w tym graniastosłupie ścianą boczną o największej powierzchni, ma długość 4 dm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XI.3 oblicza objętości ostrosłupów i pola powierzchni ostrosłupów prawidłowych, i takich, które nie są prawidłowe w zadaniach nie trudniejszych niż w przykładzie: Prostokąt ABCD jest podstawą ostrosłupa ABCDS, punkt M jest środkiem krawędzi AD, odcinek MS jest wysokością ostrosłupa. Dane są następujące długości krawędzi: AD = 10 cm, AS = 13 cm oraz AB = 20 cm. Oblicz objętość ostrosłupa — ułóż lekcję

Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

• S17MAT.VIIiVIII.XII.1 wyznacza zbiory obiektów, analizuje i oblicza, ile jest obiektów, mających daną własność, w przypadkach niewymagających stosowania reguł mnożenia i dodawania — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XII.2 przeprowadza proste doświadczenia losowe, polegające na rzucie monetą, rzucie sześcienną kostką do gry, rzucie kostką wielościenną lub losowaniu kuli spośród zestawu kul, analizuje je i oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych — ułóż lekcję

Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowej

• S17MAT.VIIiVIII.XIII.1 interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i kołowych, wykresów, w tym także wykresów w układzie współrzędnych — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XIII.2 tworzy diagramy słupkowe i kołowe oraz wykresy liniowe na podstawie zebranych przez siebie danych lub danych pochodzących z różnych źródeł — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XIII.3 oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb — ułóż lekcję

Długość okręgu i pole koła

• S17MAT.VIIiVIII.XIV.1 oblicza długość okręgu o danym promieniu lub danej średnicy — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XIV.2 oblicza promień lub średnicę okręgu o danej długości okręgu — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XIV.3 oblicza pole koła o danym promieniu lub danej średnicy — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XIV.4 oblicza promień lub średnicę koła o danym polu — ułóż lekcję

Symetrie

• S17MAT.VIIiVIII.XV.1 rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną kąta; – –193 – — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XV.2 zna i stosuje w zadaniach podstawowe własności symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta jak w przykładzie: Wierzchołek C rombu ABCD leży na symetralnych boków AB i AD. Oblicz miary kątów tego rombu — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XV.3 rozpoznaje figury osiowosymetryczne i wskazuje ich osie symetrii oraz uzupełnia figurę do figury osiowosymetrycznej przy danych: osi symetrii figury i części figury — ułóż lekcję
• S17MAT.VIIiVIII.XV.4 rozpoznaje figury środkowosymetryczne i wskazuje ich środki symetrii — ułóż lekcję

Warunki i sposób realizacji

Dział XV podstawy programowej w zakresie przedmiotu matematyka dla klas VII i VIII może zostać zrealizowany po egzaminie ósmoklasisty.

W klasach IV–VI, kiedy nauka matematyki odbywa się przede wszystkim na konkretnych obiektach, należy zadbać o pracę na przykładach, bez wprowadzania nadmiaru pojęć abstrakcyjnych. Dużą pomocą dla ucznia jest możliwość eksperymentowania z liczbami, rozwiązywania zagadek logicznych i logiczno-matematycznych, a także ćwiczenia polegające na pracy lub zabawie z różnymi figurami lub bryłami w geometrii. W szczególności, rozwiązywanie równań przez zgadywanie powinno być w klasach IV–VI traktowane jako poprawna metoda.

W klasach IV–VI należy dbać o precyzję wypowiedzi, ale trzeba pamiętać o tym, aby unikać sytuacji, w której uczeń zostaje uznany za nieuzdolnionego matematycznie, gdy nie potrafi wyrazić poprawnego rozwiązania w sposób odpowiednio formalny, zgodnie z oczekiwaniami nauczyciela. Umiejętność posługiwania się takimi pojęciami matematycznymi jak: kąt, długość, pole, suma algebraiczna jest o wiele bardziej istotna niż zapamiętanie formalnej definicji. W nauczaniu matematyki ważne jest, aby uczeń zrozumiał sens reguł formalnych. 1. Nauczanie wielopoziomowe.

Myślenie abstrakcyjne kształtuje się w wieku 11–15 lat, ale u wielu dzieci w różnym tempie, i nie musi to oznaczać większych bądź mniejszych zdolności matematycznych. Z uwagi na różną szybkość rozwoju myślenia uczniów klas VII i VIII, a także częściowo klasy VI, można rozważyć wprowadzenie nauczania matematyki w grupach międzyoddziałowych na różnych poziomach, podobnie jak to jest praktykowane w nauczaniu języków obcych nowożytnych. Grupy międzyoddziałowe realizowałyby różne partie materiału w tempie dostosowanym do możliwości uczniów, przy zachowaniu realizacji podstawy programowej w zakresie przedmiotu matematyka. Takie podejście nie powinno dzielić uczniów na lepszych lub gorszych, ale ma umożliwić uczniom, u których myślenie abstrakcyjne rozwija się wolniej, płynne przejście do etapu myślenia abstrakcyjnego. Uczniom, u których to myślenie rozwinęło się szybciej, należy proponować zadania trudniejsze i pozwalające na głębszą analizę zagadnień, aby właściwie stymulować ich rozwój.

2. Sprawność rachunkowa.

Umiejętność wykonywania działań w pamięci, poza ćwiczeniem pamięci i koncentracji, rozwija i wspomaga zdolność przeprowadzania rozumowania. Pożądaną umiejętnością u ucznia jest, aby mając do obliczenia 23 + 49 + 77, zauważył, że 23 + 77 = 100, a więc ostateczny wynik sumy jest równy 149.

Wykonywanie działań pisemnie jest wstępem do bardziej zaawansowanych zagadnień. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie pisemne przygotowuje do dodawania, odejmowania i mnożenia sum algebraicznych. Dzielenie pisemne przygotowuje do dzielenia wielomianu przez wielomian. Niemniej, wykonywanie działań pisemnych nie powinno prowadzić do uciążliwych rachunków.

3. Ułamki zwykłe.

Uczeń powinien dobrze poznać i stosować zasady dodawania i odejmowania, mnożenia i dzielenia, oraz rozszerzania i skracania ułamków zwykłych. Aby dobrze opanować podstawowe działania na ułamkach, umiejętność tę należy systematycznie utrwalać na II. etapie nauczania.

4. Kalkulatory.

Uczeń powinien umieć korzystać z nowoczesnych metod wykonywania obliczeń, w tym za pomocą kalkulatora.

Uczeń powinien zapoznać się z ograniczeniami (niektórych) kalkulatorów, mianowicie obliczenie pierwiastka z liczby całkowitej i podniesienie go do kwadratu niekoniecznie prowadzi do wyjściowej liczby, ze względu na błąd zaokrąglenia. Z tego samego powodu obliczenie rozwinięcia dziesiętnego za pomocą kalkulatora a następnie pomnożenie na kalkulatorze przez mianownik, niekoniecznie musi prowadzić do liczby całkowitej równej licznikowi. Inną sprawą jest znajdowanie rozwinięć okresowych za pomocą kalkulatora: jeśli kalkulator wypisuje rozwinięcie dziesiętne ułamka jako np. 0,463417171, to uczeń powinien wiedzieć, że może to oznaczać zarówno 0,46341(71), jak i 0,463(417171), a nawet 0,4634171(70); naturalnie istnieją jeszcze inne możliwości.

5. Zadania na dowodzenie.

Zadania na dowodzenie stanowią ważny element wykształcenia matematycznego. Uczeń powinien dowiedzieć się, że w twierdzeniach zaczynających się od słów „wykaż, że dla każdego…” podawanie wielu przykładów nie jest dowodem, a podanie jednego kontrprzykładu świadczy o tym, że stwierdzenie nie jest prawdziwe. Nie oznacza to, że uczeń nie powinien szukać przykładów bądź kontrprzykładów. Często takie poszukiwanie i sprawdzanie prawdziwości tezy dla konkretnych przypadków pozwala uczniowi zrozumieć postawiony problem, a następnie podać ogólne rozumowanie.

W szkole podstawowej zadania na dowodzenie powinny być proste (w przypadku zdolnych uczniów można rozszerzyć stopień trudności). Oznacza to, że np. do dowodu zadania z geometrii powinno wystarczyć obliczanie kątów (z wykorzystaniem równości kątów wierzchołkowych, odpowiadających i naprzemianległych, twierdzenia o sumie kątów trójkąta oraz twierdzenia o kątach przy podstawie trójkąta równoramiennego), użycie cech przystawania trójkątów do uzasadnienia przystawania jednej dostrzeżonej pary trójkątów przystających oraz wyciągnięcie wniosków z tej własności.

6. Statystyka.

Szczególną rolę w kształceniu matematycznym odgrywają zadania ze statystyki. Z jednej strony odczytywanie i prezentowanie danych wiąże matematykę z życiem codziennym i otwiera cały wachlarz zastosowań praktycznych, zatem wskazane jest, aby znaczna część zadań dotyczyła danych rzeczywistych wraz z podaniem ich weryfikowalnego źródła. Z drugiej strony, np. operowanie wykresami zależności pozwala na intuicyjne opanowanie trudnych i abstrakcyjnych pojęć takich jak funkcja, monotoniczność, ekstrema, przy użyciu minimalnej wiedzy matematycznej (nie należy wprowadzać tych pojęć w szkole podstawowej). Stanowi to wstęp do wprowadzenia tych pojęć w szkole ponadpodstawowej.

Warto przy tym dodać, że operowanie na danych rzeczywistych wiąże się ze sporą złożonością rachunkową. Uczniowie powinni być nauczeni, jak efektywnie wspomagać się sprzętem elektronicznym (kalkulator, komputer) przy rozwiązywaniu zadań ze statystyki.

Najczęściej zadawane pytania

Wszystkie przedmioty dotychczasowej podstawy